26. Жалпы шешім

Дифференциалдық теңдеудің шешімдері әдетте кез келген тұрақты санға байланысты болады. Сондықтан да дифференциалдық теңдеудің шешімдері шексіз жиын құрайды. Мысалы, теңдеуінің шешімін түрде жазуға болады. Мұндағы, С – кез келген тұрақты сан. Осы С санын өзгерте отырып, әртүрлі параболалар жиынын аламыз. Жоғарғы ретті жәй дифференциалдық теңдеудің туынды бойынша шешілмеген түрі былай жазылады: (1) Мұндағы, -тәуелсіз айнымалы, -белгісіз функция, ал - белгісіз функцияның туындылары . - кейбір облысында анықталған нақты үздіксіз функция. Егер (1) қатынас жоғарғы туындысы бойынша шешілсе, онда былай жазамыз: (2) Мұндағы, - функциясы кейбір облысында анықталған үздіксіз функция деп есептелінеді. Бұл теңдеулердің шешімдері де бірінші ретті теңдеулердің шешімдеріне ұқсас түрде анықталады.

А-1. аралығында анықталған функциясы (2) теңдеудің осы аралықтағы шешімі деп аталынады, егер ол төмендегідей үш шартты қанағаттандырса 1 функциясы аралығында рет дифференциалданатын болса; 2

3 Айқындалмаған (1) теңдеудің де шешімін осы түрде анықтауға болады.

А-2. аралығында анықталған функциясы (1) теңдеудің осы аралықтағы шешімі деп аталынады, егер ол төмендегідей үш шартты қанағаттандырса: 1 функциясы аралығында рет дифференциалданатын болса; 2 ; 3

Т-1. Егер функциясы бастапқы нүктені қамтитын ашық облысында үздіксіз болса, ал оның кез келген шектелген тұйық ішкі бөлігінде векторы бойынша Липшиц шартын қанағаттандыратын болса, онда Коши есебінің кейбір кішірейген аралықта анықталған жалғыз ғана шешімі болады. Бұл теореманы глобалды теорема дейді. (4)

Т-2. Егер (4) теңдеу үшін 1-теореманың шарттары орындалса, онда Коши есебін қанағаттандыратын шешім бастапқы мәндер бойынша үздіксіз болады.

Т-3. Егер (4) теңдеудің оң жағындағы функция қосымша кейбір параметрлерге байланысты болса және сол параметрлер бойынша үздіксіз болса, онда Коши есебін қанағаттандыратын шешім параметрлер бойынша да үздіксіз болады.Бұл теоремалардың да дәлелдеулерін жоғарыда көрсетілген оқу құралынан алуға болады. Қалыпты жүйенің бірінші интегралдары белгілі болса, онда олар жүйенің жалпы шешімін береді. Жалпы шешімнен векторының белгілі бір мәнінде шығатын шешімді дербес шешім дейді, ал векторының тұрақты мәндерінде алынбайтын шешімді ерекше шешім дейді. Бұл түсініктерді басқаша да беруге болатынын 1-тарауда айтқанбыз: әрбір нүктесінде Коши есебінің жалғыздық шарты орындалатын шешімді дербес шешім, ал әрбір нүктесінде Коши есебінің жалғыздық шарты орындалмайтын шешімді ерекше шешім дегенбіз. Ерекше шешімдер әдетте, теңдеудің оң жағындағы функцияның бойынша алынған туындыларының шексіздікке айналатын нүктелер жиыны ішінен ізделінеді.

27 Сызықты жүйенің шешімдерінің құрылымы.

Сызықтық теңдеу – белгісіздері (айнымалы шамалары) 1-дәрежелі болып келетін және белгісіздердің көбейтінділері қатыспайтын теңдеу. Мысалы,

а₁х₁ + а₂х₂ +…+ + а_nх_n = b (1) түріндегі теңдеу n белгісізі (аі≤0, і=1, 2, …, n) бар сызықтық теңдеуге жатады. Егер (1) теңдеудегі а_i=0 (і=2, 3, …, n) болып, бірақ а1≤0 болса, онда ол а₁х = b немесе ах = b (а₁ = а) түріндегі бір белгісізі бар сызықтық теңдеуге айналады. Берілген айнымалыларға қатысты бірнеше сызықтық теңдеулер жиынтығы Сызықтық теңдеулер жүйесін құрады:

a₁₁x₁ +a₁₂x₂ +…+a_1nx_n =b₁ a₂₁x₁ +a₂₂x₂ +…+a_2nx_n =b₂ …………………………

a_m1x₁ + a_m2x₂ +…+ a_mnx_n = b_m (2)

Бұл жүйенің теңдеулеріндегі x₁, x₂, …, x_n белгісіздерінің орнына табылған мәндерін қойғанда сол теңдеулерді тепе-теңдікке айналдыратын а₁, а₂, …, а_n сандар жиынтығы сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдері деп аталады. Ал (2) сызықтық теңдеулер жүйесі негізгі матрица мен кеңейтілген матрицаның рангілерін салыстыру арқылы шешіледі. Егер олардың рангілері бір-бірімен дәл келсе, онда сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді, ал кеңейтілген матрицаның рангісі негізгі матрицаның рангісінен үлкен болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімсіз болады. Егер (2) сызықтық теңдеулер жүйесінің барлық b_i мүшелері нөлге тең болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесі біртекті деп аталады. Сызықтық теңдеулер жүйесінің бір шешімі, шексіз көп шешімі немесе мүлде шешімі болмауы да мүмкін. Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттері: Қарапайым теңдеулер жүйелердің ең маңызды дербес түрі – сызықты жүйелер болып есептелінеді. Оның скалярлық түрдегі жазылуы төмендегідей болады:

(3) Мұндағы, және функциялары кейбір аралығында анықталған нақты үздіксіз функциялар деп қарастырылады. Бұл жүйені былайша жазуға да болады: (4)

Егер матрицасын енгізсек, ал пен -ты вектор немесе бір бағаналы матрицалар деп қарастырсақ, онда берілген жүйені төмендегідей векторлы-матрицалық түрде жазуға болады: (5) Бұл қатынасты жүйе деумен қатар (оның векторлық мағынасын ескеріп), бір теңдеу деп те айтуға болады. Әдетте, – вектор-функцияны бос мүше деп атайды. Егер осы бос мүше нөлге тең болса, онда (5) жүйенің орнына оның біртектісін аламыз: (6) Бос мүше нөлге тең болмағанда (5) жүйені (6) жүйенің сәйкес біртексізі деп атайды. Сызықты жүйелердің жалпы қасиеттерін келтірейік: Тәуелсіз айнымалыны үздіксіз дифференциалданатын функция арқылы басқа бір тәуелсіз айнымалымен алмастырғаннан жүйенің сызықтығы өзгермейді. алмастыруын жасасақ. Туындыны жаңа айнымалы арқылы өрнектейміз:

Осыдан,

н\е яғни: (7) түріндегі жаңа сызықты жүйеге қайта келеміз. Белгісіз функцияны сызықты түрлендіргеннен жүйенің сызықтығы өзгермейді: айталық түрінде алмастыру жасалсын. Мұнда ерекше емес матрица, яғни оның анықтауышы нөлге тең емес. Осы қатынастан туынды алып берілген жүйенің өзін пайдалансақ, мынандай қатынастар аламыз: яғни, Осыдан,

н\е Мұндағы,