20. Сызықты дифференциалдық теңдеулер үшін Остроградский-Лиувилль формуласы

Алдымен, -ші ретті анықтауыштың туындысы қалай ашылатынын көрсетейік.

-ші ретті анықтауыштың туындысы сол анықтауыштың әр бағанасы (немесе әр жатық жолы) кезекпен туындыларымен ауыстырылған анықтауыштардың қосындысынан тұрады. Осы ереже бойынша вронскианның туындысын ашайық:

(1)

Мұндағы, берілген жүйенің шешімі болғандықтан,

Осы өрнектерді анықтауыштың -нші бағанасына қойсақ, анықтауыштың қасиеттері бойынша, болатын қосындыдан басқа анықтауыштардың бәрі нөлге тең болады, өйткені олардың екі бағанасы өзара пропорционал болады. Сондықтан,

Осыдан (2)

Мұндағы, - берілген матрицасының ізі деп аталады.

Осы (2) теңдікті Лиувилль формуласы деп атайды. Бұл формуладан мынандай қорытынды шығады: егер аралығының бір нүктесінде вронскиан нөлге тең болса, ол бүкіл аралықта нөлге тең болады, ал аралығының бір нүктесінде нөлге тең болмаса, онда ол бүкіл аралықта нөлге тең болмайды.

21.Теңдеулер үшін тұрақтыларды вариациялайтын Лагранж әдісі. Теңдеулер үшін тұрақтыларды вариациялау әдісі қолданылады. Ол үшін біртекті жүйенің жалпы шешіміндегі тұрақты векторын - ға байланысты функция деп, біртексіз жүйенің шешімін

(1)

түрінде іздейміз. Екі жағынан туынды алып, берілген (1) жүйені пайдаланып, мынандай теңдеу аламыз:

Ал (2)тепе-теңдігін ескерсек, онда

Осыдан (3)

Бұл теңдеудің шешімі интегралдау арқылы былай жазылады:

(4)

мұндағы, - тұрақты вектор. Табылған - ның мәнін (4) – қатынасқа қойып, біртексіз (1) жүйенің жалпы шешімін табамыз:

(5)

Бұл жалпы шешімдегі тұрақты - векторын анықтау үшін формулада деп алсақ, онда . Сондықтан

(6)

немесе Коши функциясын енгізсек, онда шешім мына түрде жазылады:

(7)

Бұл қатынас Коши формуласы деп аталынады. Осындағы фундаменталь матрицасы нүктесінде нормаланған болса, яғни болса, онда формула мына түрде жазылады:

Егер матрицасы тұрақты болса, яғни - тұрақты болса және болса, онда . Бұл жағдайда жалпы шешім мына түрде жазылады:

(8)

Соңғы формулада - тұрақталған сан деп, ал - векторын кез келген тұрақты вектор деп қарастырсақ, онда (8) формула Коши түріндегі жалпы шешімді білдіреді.

22.Оң жағы квазикөпмүшелік болатын тұрақты коэффициентті біртексіз теңдеуді қарастырайық:

(1)

Мұнда -сандары нақты, ал - функциясы кейбір аралығында үздіксіз деп алынады.

Өткен параграфта көрсетілгендей, біртексіз сызықты теңдеудің жалпы және дербес шешімдерін жалпы жағдайда тұрақтыларды вариациялау арқылы анықтауға болады. Кейбір жағдайларда функциясының түріне байланысты шешімді алгебралық амалдардың көмегімен интегралсыз-ақ табуға болады.

Айталық, функциясы квазикөпмүшелік түрде берілсін, яғни

(2)

Мұнда -дәрежесі -ге тең көпмүшелік:

(3)

Сонымен,

(4)

Дербес шешімді құрудың екі жағдайы қарастырылады.

-саны сипаттаушы теңдеудің түбірі емес. Бұл жағдайда дербес шешім мына түрде ізделінеді:

(5)

Мұнда

(6)

Осы (20) өрнекті (19) теңдеуге қойып, алдын ала функциясына қысқартып, -тың әртүрлі дәрежелерінің коэффициенттерін теңестіретін болсақ, - коэффициенттері төмендегідей теңдеулерден бірмәнді түрде анықталады:

(7)

Мұнда , өйткені -саны сипаттаушы теңдеудің түбірі емес.

-саны сипаттаушы теңдеудің -еселікті түбірі болсын, яғни

(8)

Бұл жағдайда дербес шешім (9)

түрінде ізделінеді. Мұнда да (24) өрнекті (19) теңдеуге қоятын болсақ, -сандарын табу үшін төмендегідей алгебралық теңдеулер аламыз:

(10)

Мұнда болғандықтан, барлық коэффициенттер бір мәнді түрде анықталады.

Ескерту. Егер (16) теңдеудің оң жағы тригонометриялық квазиполином түрінде берілсе, яғни

түрінде берілсе, онда және функцияларын Эйлер формуласы бойынша

түрінде жазып, алдыңғы жағдайға келтіруге болады.