37. Многомерное шкалирование: задачи, решаемые с его помощью [3, 6, 7].

Многомерное шкалирование (МНШ) можно рассматривать как альтернативу факторному анализу.  В методе МНШ дополнительно к корреляционным матрицам, в качестве исходных данных можно использовать произвольный тип матрицы сходства объектов. Таким образом, на входе всех алгоритмов МНШ используется матрица, элемент которой на пересечении ее i-й строки и j-го столбца, содержит сведения о попарном сходстве анализируемых объектов (объекта [i] и объекта [j]). На выходе алгоритма МНШ получаются числовые значения координат, которые приписываются каждому объекту в некоторой новой системе координат (во "вспомогательных шкалах", связанных с латентными переменными, откуда и название МНШ), причем размерность нового пространства признаков существенно меньше размерности исходного.  Многомерное шкалирование - это не просто определенная процедура, а скорее способ наиболее эффективного размещения объектов, приближенно сохраняющий наблюдаемые между ними расстояния. Другими словами, МНШ размещает объекты в пространстве заданной размерности и проверяет, насколько точно полученная конфигурация сохраняет расстояния между объектами. Говоря более техническим языком, МНШ использует алгоритм минимизации некоторой функции, оценивающей качество получаемых вариантов отображения.

38. Многомерное шкалирование: основные элементы формализма («вход», «выход», свойства матрицы близостей, функция расстояния, функция стресса, неоднозначность решения [3, 6, 7].

В классическом многомерном шкалировании можно выделить два случая:

1. близости получены по интервальной шкале

2. близости получены по порядковой шкале

В первом случае применяется метрическое, во втором - неметрическое многомерное шкалирование.

Метрическое многомерное шкалирование

Близости нормируются и строится матрица различий.

Для определения степени соответствия структур матрицы близостей и матрицы расстояний используется функция стресса

Неметрическое многомерное шкалирование

Функцию стресса использовать нельзя. Вместо этого мы ищем возможность минимального изменения расстояний, такого, чтобы совпали структуры (порядок) расстояний и близостей.

Индивидуальное многомерное шкалирование

Классическое многомерное шкалирование основано на предпосылке о том, что у всех респондентов существует единое пространство восприятия. В действительности же его может и не быть. Один из путей ослабления этой предпосылки - учет специфики метрик отдельных респондентов. Для этого проводится индивидуальное многомерное шкалирование.  При таком подходе к многомерному шкалированию метрика и названия (интерпретация) осей остаются неизменными, но вводится вес (важность) каждой оси для каждого респондента.  На входе мы имеем m матриц близостей между n объектами  , l=1, ... m  На выходе для каждого респондента получаем набор весов по каждой оси  , t=1, ...k, где k - количество осей.  Расстояния между двумя объектами i и j во взвешенном евклидовом пространстве рассчитываются по следующей формуле:  Исходные данные для многомерного шкалирования - матрица близостей {s_ij}  между объектами. На выходе анализа - координаты объектов в евклидовом пространстве, матрица расстояний {p_ij} между ними.

Аксиомы для расстояний в евклидовом пространстве:

1. Расстояние объекта до самого себя равно нулю {p_ii=0}

2. Симметричность: расстояние от объекта i до объекта j равно расстоянию от объекта j до объекта i {p_ii=p_ji}

3. Правило треугольника: сумма двух сторон треугольника всегда больше или равна третьей стороне {p_ii+p_jk>p_ik}

 Аксиомы для близостей (происходит смягчение требований):

1. Расстояние объекта до самого себя не больше, чем расстояние от этого объекта до любого другого  

Условия, налагаемые на элементы матрицы различий в метрическом МШ, строго соответствуют следующим аксиомам расстояния в геометрическом пространстве:

1)     Аксиома о рефлексивности

подразумевает, что сравнительная оценка двух идентичных стимулов (i) не должна превышать оценки сравнения этого стимула с любым другим (j) в наборе.

2)     Аксиома о симметричности

означает, что оценка различия стимулов i и j не должна зависеть от временных или пространственных перестановок этих стимулов относительно друг друга.

3)     Аксиома треугольника

требует, чтобы сумма различия между стимулами i и j и различия между j и k в триаде стимулов i, j и k была не меньше, чем различие между оставшейся парой стимулов i и k.

В терминах теории измерений выполнение этих аксиом означает, что субъективные оценки различий должны представлять собой величины на шкале отношений (Стивене, 1960). Только в этом случае их можно рассматривать как расстояния между точками в психологическом пространстве.

При неметрическом МШ (Терехина, 19776; Шепард, 1981) исходная информация о различиях представляется в виде оценок, удовлетворяющих шкале порядка (Стивене, 1960). Конкретные числовые значения различий не учитываются. На соотношение субъективных различий и расстояний в психологическом пространстве в этом случае накладывается только требование монотонности. Иначе говоря, конфигурация точек-стимулов должна быть построена в пространстве мерностей таким образом, чтобы последовательности реконструируемых значений {d} и матричных величин {D} соответствовали друг другу по критерию сохранения взаимно однозначной монотонности (так называемому «стресс»-критерию). Конкретный вид соответствия {d} и {D} заранее не определяется и выступает как одно из неизвестных, находимых в процессе решения.