19 Вопрос. Энтропия и ее изм. В обратных процессах.

Для прямого цикла Карно (см. рис. 5.4) из формул (5.1) и (5.4) вытекает, что

или .

Следует иметь в виду, что здесь под q₂ подразумевается абсолютная величина отводимого тепла. Если учесть, что алгебраически тепло q₂ отрицательно, то последнее равенство надо записать так

или . (5.6)

Отношение теплоты к температуре, при которой оно подводится или отводится, называется приведенным теплом. Таким образом, для обратимого цикла Карно алгебраическая сумма теплот равна нулю.

П

Рисунок 5.7

олученное соотношение можно распространить на любой обратимый цикл (рис. 5.7). Для этого пересечем произвольный обратимый цикл бесконечно б ольшим количеством адиабат и образуем, таким образом, бесконечно большое количество элементарных циклов. В каждом из них (например, в цикле a–b – c –d –a) теплота подводится на верхнем участке в количестве dq₁ при температуре Т₁ и отводится на нижнем участке в количестве dq₂ при температуре Т₂. Изменение температур на этих элементарных участках бесконечно мало, поэтому их можно считать изотермическими, т.е. каждый из полученный элементарных циклов можно считать циклом Карно.

Для каждого из них по уже доказанному можно написать, что

. (5.7)

Суммируя все положительные приведенные теплоты, т.е. взяв линейный интеграл величин dq₁/T₁ по верхней линии АВ, а затем, суммируя все отрицательные приведенные теплоты, т.е. взяв линейный интеграл dq₂/T₂ по нижней линии ВА и сложив их, получаем

или , (5.8)

т.е. линейный интеграл элементарных приведенных теплот, взятый по всему контуру рассматриваемого обратимого цикла, равен нулю.

Полученная была выведена Клаузиусом в 1854 г. и носит название интеграл Клаузиуса.

Из математики известно, что если линейный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, равен нулю, то под интегралом находится полный дифференциал, т.е. в данном случае

, (5.9)

г де s – некоторая функция состояния, значение которой однозначно определяется состоянием тела и изменение которой зависит от начального и конечного состояний тела, но не от пути, по которому тело переходит от начального состояния к конечному. Следовательно, если тело переходит из состояния 1 в состояние 2 (рис. 5.8), то по какому бы пути не был осуществлен переход, величина

Рисунок 5.8

(5.10)

будет иметь одно и то же значение. Функция состояния S была названа Клаузиусом энтропией.

Важная роль этой величины в термодинамике определяется тем, что в соответствии с равенством (5.9) изменение ее в любом обратимом процессе является признаком наличия теплообмена между рабочим телом и окружающей средой.

Очевидно, что энтропию можно рассматривать как параметр состояния и, следовательно, изменение ее можно вычислить для любого процесса, если известно изменение двух других параметров состояния, например  и Т, р или р и.

Выведем соответствующие зависимости для идеального газа, представив предварительно его уравнение состояния в дифференциальной форме.

Дифференцируя уравнение состояния идеального газа (2.3), получаем

.

Разделив далее левую часть этого уравнения на р, а правую на RT (от чего равенство не нарушится), получаем

или

. (5.11)

Полученное выражение и является уравнением состояния идеального газа в дифференциальной форме.

Положим теперь, что в качестве независимых переменных заданы  и Т.

На основании первого закона термодинамики

,

поскольку

,

получаем

.

Интегрируя данное дифференциальное уравнение, получим искомую зависимость в конечной форме

. (5.12)

Если в качестве независимых переменных заданы р и Т, то, учитывая, что

,

получаем

,

или, поскольку с_+R= с_р, имеем

.

Интегрируя, получаем искомую зависимость в конечной форме:

. (5.13)

Наконец, если в качестве независимых переменных заданы  и р то, учитывая, что

,

получаем

или .

Интегрируя, получаем искомую зависимость в конечной форме

. (5.14)

Чтобы определит абсолютное значение энтропии для какого – либо состояния тела, необходимо фиксировать начало ее отсчета. В теплотехнике обычно принимают за такое начало отсчета нормальные условия, т.е. полагают, что при р_о = 760 мм.рт.ст и t_о = 0⁰С энтропия S₀ = 0. Тогда при любых других условиях, заданных параметрами р и Т, значение энтропии можно определить по формуле

. (5.15)

Как видно из всех приведенных выше формул, энтропия имеет ту же размерность, что и массовая теплоемкость, т.е. кДж/(кг град).