9 Вопрос. Теплоемкости идеальных газов.

Теплоемкостью тела в каком – либо процессе изменения его состояния называется количество тепла, потребное для повышения его температуры на один градус. Теплоемкость, отнесенная к единице количества вещества, является его удельной теплоемкостью, однако обычно ее также называют просто теплоемкостью. Применительно к газам в технической термодинамике различают массовую теплоемкость с, кДж/(кг·град), объемную теплоемкость с^/ , кДж/(м³град) и мольную теплоемкость

, кДж/(кмольград). Между собой эти теплоемкости связаны очевидными соотношениями:

, (3.1)

где – удельный объем при нормальных условиях.

Как было показано выше, тепло является функцией процесса, поэтому понятие теплоемкости имеет смысл лишь в том случае, когда задан характер процесса, в котором газу сообщается тепло. Соблюдение же этого условия устанавливает однозначную связь между теплом процесса и температурой газа, которую можно выразить уравнением

,

или представить графически в виде некоторой кривой (рис. 3.1).

Очевидно, что на различных участках такой кривой одному и тому же изменению температуры соответствуют различные количества подведенного тепла, поэтому и значения теплоемкости на этих участках будут различными. В связи с этим приходится ввести понятие о теплоемкости, средней в заданном интервале температур от Т₁ до Т₂ (т.е. на участке 1–2 кривой, изображенной на рис. 3.1).

. (3.2)

Беспредельно уменьшая рассматриваемый температурный интервал, получаем значение истинной теплоемкости при заданной температуре:

. (3.3)

Таким образом, истинная теплоемкость при данной температуре представляет собой предел, к которому стремится теплоемкость, средняя для прилегающего температурного интервала, когда этот интервал стремится к нулю. Это означает, что истинная теплоемкость математически выражается как первая производная тепла по температуре (при условии, что задан характер процесса и этим определена функциональная зависимость между теплом и температурой).

Характер процесса может быть задан постоянством какого – либо из параметров газа в нем, что в общем виде выражается формулой x = const. В этом случае теплоемкость газа представляет собой частную производную

(3.4)

и никаких дополнительных условий для ее определения не требуется, поскольку уже само условие x = const устанавливает необходимую функциональную зависимость тепла от температуры.

3.2 Теплоемкости с и ср

В технической термодинамике особо важную роль играют теплоемкости при постоянном объеме

(3.5)

и теплоемкости при постоянном давлении

(3.6)

Связь между ними легко устанавливается из первого закона термодинамики, согласно которому

.

Если тепло подводится при постоянном объеме, то , а следовательно,

. (3.7)

Если тепло подводится при постоянном давлении, то

. (3.8)

Для идеального газа эти выражения упрощаются. Поскольку его молекулы не связаны силами взаимодействия, его внутренняя энергия u не зависит ни от объема, ни от давления, следовательно,

.

Кроме того, из уравнения состояния идеального газа имеем

.

Отсюда получаем

и окончательно . (3.9)

Полученная формула называется уравнением Майера.

Умножая обе части уравнения Майера на молекулярную массу , получаем аналогичную зависимость для мольных теплоемкостей идеального газа

. (3.10)