Экзаменационные вопросы по математике / Ответы в одном файле

Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Математика

Файл:

Нижняя интегральная сумма:

Верхняя интегральная сумма:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2014

Размер:

4.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

14. Интегрирование некоторых иррациональностей.

Замена:

15. Интегрирование тригонометрических функций.

где - рациональная функция.

Метод взятия такого интеграла называется метод универсальной тригонометрической подстановкой.

Некоторые случаи:

1) Если в интеграле

подынтегральная функция такова, что при замене

знак минус выходит перед знаком интеграла, тогда делаем подстановку , вместо универсальной.

2) Если при замене знак минус выходит перед интеграла, т.е.

, тогда замена

3) Если

, тогда рекомендуемая замена

16.Определённый интеграл. Интегральная сумма. Верхние и нижние интегральные суммы. Их свойства. Геометрический смысл определённого интеграла.

Пусть на некотором промежутке задана функция .

Произведём разбиение отрезка точками . Внутри каждого отрезка возьмём произвольную точку .

- интегральная сумма.

Устремим . Максисум - мелкость разбиения (характеристика разбиения). Фигура под кривой называется криволинейной трапецией.

- определение определенного интеграла (если предел существует).

Интегральные суммы и их свойства:

1) , при данном конкретном разбиении.

2)если разбиение получается из разбиения T добавлением одной точки разбиения, то нижняя

интегральная сумма может только увеличиться, а верхняя только уменьшиться, т.е.

y		Mi
y

	m'i	mi

x'i

xi+

Следствие: при добавлении к любому разбиению T любого дополнительного числа точек разбиения нижняя интегральная сумма может только увеличиться, а верхняя - только увеличиться.

3) Для любых 2-х разбиений T' и T'', нижняя интегральная сумма любого разбиения не превосходит интегральную сумму другого разбиения .

Доказательство: по предыдущему свойству рассмотрим разбиение T, полученное из всех точек

разбиения T' и T''. Тогда . Аналогично . И т.к. , то

, что и требовалось доказать.

4) Все нижние интегральные суммы ограничены сверху, а все верхние интегральные суммы ограничены снизу. Как известно, множество чисел, ограниченных сверху имеют точную верхнюю

грань аналогично и для ограниченных снизу - нижняя грань . - верхняя грань для s.

- верхняя грань для S.

Геометрический смысл определенного интеграла - это площадь фигуры, ограниченной прямыми

, осью

и графиком функции

17. Основные свойства определённого интеграла.

; (следует из определения интеграла как предела

;

интегральных сумм).

;

7)					;

18. Теорема о среднем для определённого интеграла.

Если -неотрицательная функция на промежутке и ограничена на нём, то Проинтегрируем:

; разделим все на

Следствие: если

- непрерывна на отрезке

, то она принимает все значения от

до

, в том числе и

19. Критерий интегрируемости ограниченной на отрезке функции.

Критерии интегрируемости.

Необходимое условие: функция f должна быть ограниченной на отрезке [a,b].

Критерий Коши:
Для	существования	неопределенного	интеграла	необходимо	и	достаточно,

чтобы

Достаточный признак:

Для интегрирования f достаточно.

Доказательство:

В отрезке

усть

, тогда

f интегрируемая функция, ч.т.д.

Следствие №1

Если функция f ограничена на [a, b] и имеем на нем конечное число точек разрыва, то функция fинтегрируема на [a, b].

Доказательство:

Пусть f имеет на [a, b] k-точек разрыва

Рассмотрим у каждой точки разрыва с радиусом и вычтем из отрезка

выберем

, такое, что

;

{берётся по отрезкам, которые не пересекаются с

окрестностью точек разрыва}+

{все остальные}

ч.т.д.

20. Теорема об интегрируемости непрерывной на отрезке функции.

Следствие №2

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

непрерывна

на

[a,

она

равномерно

непрерывна

ч.т.д.

21. Теорема об интегрируемости монотонной на отрезке функции.

Следствие №3

Если f(x) ограничена и монотонна на [a, b], то она интегрируема на этом отрезке. Доказательство:

;

в силу монотонности функции все разности под знаком модуля в получившейся сумме имеют один знак

{т.к.

}= ч.т.д.

22. Интеграл с переменным верхним пределом. Производная интеграла с переменным верхним пределом.

________________________________________________________________________

23. Формула Ньютона-Лейбница.

_________________________________________________________________________

24.Геометрические приложения определённого интеграла: площади плоских фигур, длина кривых. Вычисление объёма тел, в том числе тел вращения.

Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координаты

Площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (ƒ(х) ≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу:

Формула (41.1) получена путем применения метода сумм. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = ƒ(х) ≥ 0, х = а, х = b, у = 0 (см. рис. 174).

Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие

операции:

1.Возьмем произвольное х i [а; b] и будем считать, что S = S(x).

2.Дадим аргументу х приращение ∆х = dx (х + ∆х є [а; b]). Функция S = S(x) получит приращение ∆S, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).

Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ∆S при ∆х → 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у: dS = у • dx.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Отметим,что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Формулы (41.1)и (41.2) можно объединить в одну:

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у=d, осью Оу и непрерывной кривой х = φ(у) ≥ 0 (см. рис. 177), то ее площадь находится по

формуле

И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

прямыми х = а и х = b и осью Ох, то площадь ее находится по формуле

где а и β определяются из равенств х(а) = а и х(β) =b.

Полярные координаты

Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r=r(φ) и двумя лучами φ=а и φ=β (а < β), где r и φ — полярные координаты (см. рис. 180).

1.Будем считать часть искомой площади S как функцию угла φ, т. е. S = S(φ), где а ≤φ≤β (если φ = а, то S(a) = 0, если φ=β, то S(β) = S).

2.Если текущий полярный угол φ получит приращение ∆φ = dφ, то приращение площади AS равно площади «элементарного криволинейного сектора» OAB.

Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ∆S при dφ→0 и равен площади кругового сектора О АС (на рисунке она заштрихована) радиуса r с

центральным углом dφ. Поэтому

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от φ = а до φ = β, получим искомую площадь

Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у' = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзаменационные вопросы по математике

#
10.05.201434.3 Кб878. Однородная система алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условия существования ненулевых решений....doc
#
10.05.201465.38 Кб448. Однородная система алгебраических уравнений. Необходимое и достаточное условия существования ненулевых решений....pdf
#
10.05.201462.98 Кб569. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений..doc
#
10.05.201481.13 Кб479. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений..pdf
#
10.05.201420.52 Mб126Ответы в одном файле.doc
#
10.05.20144.58 Mб46Ответы в одном файле.pdf
#
10.05.20141.47 Mб54Шпоры по математике.doc
#
10.05.2014880.11 Кб49Шпоры по математике.pdf
#
10.05.2014259.88 Кб41Экзаменационные вопросы по математике!.jpg