Экзаменационные вопросы по математике / Ответы в одном файле

1. Точками х0 = а, х1..., хn = b (х0 < x1 < ...< хn) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пусть этим точкам соответствуют точки М0 = А, M1,...,Mn =В на кривой АВ. Проведем хорды М0M1, M1M2,..., Мn-1Мn, длины которых обозначим соответственно через ∆L1, AL2,..., ∆Ln. Получим ломаную M0M1M2 ... Mn-ιMn, длина которой равна

Ln=∆L1 + ∆L2+...+ ∆Ln =

2. Длину хорды (или звена ломаной) ∆L1 можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ∆xi и ∆уi:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ∆уi=ƒ'(сi)•∆хi, где ci є (xi-1;xi). Поэтому

а длина всей ломаной M0M1... Мn равна

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

.

Заметим, что при ∆Li→0 также и ∆xi →0 ∆Li =и, следовательно, |∆xi|<∆Li).

Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max ∆xi→ 0:

Таким образом,или в сокращенной записи l =

Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а ≤ х ≤ b.

1.Через произвольную точку х є [a;b] проведем плоскость ∏, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 188). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х] величина v есть функция от х, т. е. v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2.Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой «элементарный слой» тела,

заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+∆х, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределах от а до В:

Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = ƒ(х) 0, отрезком а ≤ x ≤ b и прямыми х = а и х = b (см. рис. 190). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х i [а; b]), есть круг с радиусом у= ƒ(х). Следовательно, S(x)=πy2.

Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Если криволинейная трапеция ограничена графиком не прерывной функции х=φ(у) ≥ 0 и прямыми х = 0, у = с,

у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Вопрос 25 Числовые ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Следствие: необходимое условие сходимости ряда.

где (uk)k N — заданная числовая последовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы S1 = u1, S2 = u1 + u2, .... Sn = u1 + u2 +...+ un, называются частичными суммами ряда (1).

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2)

то ряд (1) называется сходящимся, а число S—суммой ряда (1)

Необходимое условие сходимости. Если ряд (1) сходится, то Доказательство.

Критерий Коши. Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало N = N(ε) такое, что для всех n > N и р = 1, 2, … выполнялось неравенство

Доказательство:

Вопрос 26 Ряды с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости. Признак сравнения.

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Необходимое условие

Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано

Достаточное условие

Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая: S(n + 1) − S(n) = a(n + 1) Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм ограничена сверху.

Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами

(17)

и

(18)

и каждый член ряда (17) не превосходит соответствующего члена ряда (18), т.е. выполняется

(n = 1, 2, 3, …). Тогда, если сходится ряд (18), то сходится и ряд (17). Если ряд (17) расходится, то ряд (18) также расходится. Этот признак остается в силе, если условие

выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

Вопрос 27 Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.

Признак Даламбера

Пусть дан знакоположительный числовой ряд

lim un+1 = p.

и пусть существует предел n→∞ un При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.

Ряд (13) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, учитывая (11), по признаку сравнения. Ряд (7) сходится по теореме 1.

Пусть теперь p>1. Выберем Е так, что p-E>1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что

un+1 >1

при n≥N выполняется un или un+1>un, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n.

lim

Поэтому n→∞ un≠0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Замечания.

lim

1. Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то n→∞ un≠0.

2. При р=1 признак Даламбера не даёт ответа о сходимости ряда. В этом случае нужно применять другие признаки сходимости.

3. Признак Даламбера рекомендуется применять при наличии в выражении общего члена ряда показательной функции или факториала.

положительного числа Е существует такой номер N, что для всех n≥N выполняется условие | nun − p | <E или

p-E< nun <p+E. (14)

Пусть p<1. Выберем Е таким, чтобы выполнялось p+E=q<1. Тогда из (14) получаем nun <q или un<qn для всех n≥N. Рассмотрим ряды

(15)

(16)

Ряд (16) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ряд (15) сходится, учитывая, что un<qn для всех n≥N, по признаку сравнения, следовательно, по теореме 1

следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Вопрос 28 Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.

Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются

знакопеременными рядами.

Числовой ряд вида u1-u2+u3-u4+…+ +(-1)n-1.un+…, где un – модуль члена ряда, называется

знакочередующимся числовым рядом.

Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.

Признак Лейбница

Если для знакочередующегося числового ряда

u1 − u2 + u3 − u4 + ...+ (−1)n−1.un + ... (19) Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u1>u2>…>un>…,

lim un = 0,

n→∞

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда. Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S2n=(u1-u2)+(u3-

u4)+…+(u2n-1-u2n).

По условию u1>u2>…>u2n-1>u2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n>0 при любом n.

С другой стороны S2n=u1-[(u2-u3)+(u4-u5)+…+(u2n-2-u2n-1)+u2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S2n>0, поэтому S2n<u1 для любого n. Таким образом, последовательность частичных

lim

сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный n→∞ S2n=S. При этом 0<S≤u1. Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S2n+1=S2n+u2n+1. Перейдём в

lim lim lim

последнем равенстве к пределу при n→∞: n→∞ S2n+1= n→∞ S2n+ n→∞ u2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому

lim

n→∞ Sn=S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Замечания.

1.Теорема Лейбница справедлива и если условие un>un+1 выполняется, начиная с некоторого номера N.

2.Условие un>un+1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется.

Вопрос 29 Интегральный признак Коши сходимости числового ряда с неотрицательными членами.

Пусть члены знакоположительного числового ряда u1+u2+…+un… (7) не возрастают: u1≥u2≥…≥un≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u1, f(2)= u2 ,…, f(n)= =un,… . Тогда ряд (7) сходится или расходится

Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1;n] и построим прямоугольник с основаниями [1;2], [2;3], …, [n-1;n] и высотами u1,u2,…,un-1, а также с высотами u2,u3,…,un.

Sn=u1+u2+…+un-1+un, Sвпис=u2.1+u3.1+…+un.1=u2+u3+…+un=Sn-u1, Sопис=u1+u2+…+ +un-1=Sn-un.

ряда (7) неограничена и, следовательно, ряд (7) расходится. Теорема доказана.

n > N(ε) и любого x X выполняется неравенство fn(x)− f (x) < ε .

Можно также определить равномерную сходимость не в терминах сходимости последовательности

такое, что для остатка ряда

∞

Rn (x)= ∑uk (x)

k=n+1

справедливо неравенство Rn (x) < ε для всех x X .

32. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда

∞

Критерий Коши.) Для того, чтобы функциональный ряд ∑un (x) сходился равномерно в области

n=1

X , необходимо и достаточно , чтобы для любого ε > 0 и x X существовало N = N(ε), не зависящее от x X , такое, что для всех n > N и p =1, 2, 3,K неравенство

un+1(x)+ un+2(x)+K+ un+ p(x) < ε

выполняется сразу для всех x X.

На практике для установления равномерной сходимости рядов часто используется простой и эффективный Признак Вейерштрасса.

Ряд равномерно сходится на

Доказательство:

Пусть ряд равномерно сходится.

, где — сумма ряда. Тогда

По определению равномерной сходимости, .

В силу предыдущего неравенства, , то есть, выполняется условие критерия

Коши.

Пусть выполняется условие критерия Коши.

для выполняется критерий Коши сходиммости числовых рядов. Значит, этот ряд

сходится. На всем определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.

По условию критерия Коши,

Как и в первой половине доказательства, , но . В неравенстве

с можно подставлять любой фиксированный . Устремим :

Значит, определение равномерной сходимости проверено.

33. Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда

∞

(Признак Вейерштрасса) Если числовой ряд с неотрицательными членами ∑an сходится и для

n=1

∞

членов функционального ряда ∑un (x) при всех n ≥ no ≥ 1 и всех x X , справедливы оценки

n=1

un(x) ≤ an , то ряд сходится абсолютно и равномерно в области X .

∞

Говорят в этом случае, что числовой ряд ∑an «мажорирует» исходный функциональный ряд, а

n=1

сам числовой ряд называют мажорантным.

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости(принак Вейерштрасса)

Можно рассматривать и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Теорема (Вейерштрасс):

, , — сходится. Тогда равномерно сходится на .

Доказательство:

Применим критерий Коши:

Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно ,

. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.

34. Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Важным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:

n=0

или

∞

c0 + c1(x − x0 )+ c2 (x − x0 )2 +K+ cn (x − x0 )n +K = ∑cn (x − x0 )n

n=0