контрольные за 3 семестр у Федосеева Е.П + билеты к экзамену / ВТА экзамен 3 семестр / VTA_pechatnye_lektsii_3_semestr

Пример 5 (4365).

полуэллипсоид, а через D его проекцию на плоскость xOy. Учитывая ранее сделанное замечание и симметрию относительно координатных осей, получим

§3. Формула Стокса

1. Поверхность, заданная уравнением z = z(x, y)

Рассмотрим ориентированную непрерывно дифференцированную поверхность Ф, однозначно проектируемую не все координатные плоскости. Пусть эта поверхность имеет задание z = z(x, y), (x, y) Dz относительно переменных x,y. Через Г обозначим край этой поверхности с согласованной ориентацией. Согласованной ориентацией называется такая, что при обходе края поверхности в этом направлении с выбранной нормалью, поверхность остается слева.

Доказательство проведем для положительно ориентированной поверхности

61

Обозначим P*(x,y)=P(x,y,z(x,y)). Отметим, что ∫P( x, y, z) dx = ∫P* ( x, y) dx . Это следует из формулы

γ

вычисления криволинейного интеграла. Действительно, рассмотрим параметризацию кривой γ.

использовалось соотношение между направляющими косинусами единичной нормали

Замечание. Доказанная формула будет верна и для допустимых поверхностей, то есть для поверхностей, дапускающих зарбиение на части, однозначно проектируемые на все координатные плоскости.

2. Формула Стокса для векторного поля.

62

Пусть Ф допустимая, ориентированная поверхность и V=(P,Q,R) непрерывное на Ф поле, Г-край этой поверхности с согласованной ориентацией.

Векторная запись формулы Стокса. Ротор определяется по формуле

Циркуляция векторного поля по краю поверхности равна потоку ротра через эту поверхность. Подробнее о смысле этой терминологии будет сказано позже.

Пример 1.(4367) Вычислить ∫ ydx + zdy + xdz , С- окружность x2+y2+z2=a2, x+y+z=0 , проходимая

C

против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ox.

x+y+z=0 шара x2+y2+z2≤ a2 , ориентированный нормалью (1,1,1). Тогда

63

где Ф- область, лежащая в плоскости с единичной нормалью n , ограниченная кривой ∂Φ ,

согласованно ориентированной с нормалью n .

V = [n, r] = ( z cos β − y cosγ , x cosγ − z cosα , y cosα − x cos β ) ,

Пример 4. Вычислить ∫( y − z)dx + ( z − x)dy + ( x − y)dz . С- контур x=a sin2t, y=a sin t cos t, z=a cos2t

C

, t [0,π].

Таким образам, этот контур является эллипсом с полуосями a , a .

2 2

64

Сечение этой окрестности плоскостью перпендикулярной оси x и проходящей через точку М0 обозначим K (круг радиуса ε, ориентированный ортом оси x) , а его границу – через C (окружность с согласованной ориентацией). D-проекция K на плоскость yOz

Теорема 2. Для того, чтобы интеграл (1) не зависел от пути интегрирования в поверхностно односвязной области D , необходимо и достаточно, чтобы подинтегральное выражение было полным дифференциалом

где М0(x0, y0, z0) – фиксированная точка в области D , а интегрирование ведется по некоторому пути, соединяющему точки М0 и М. Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то определение

корректно. Докажем, что таким образом определенная функция является искомой, т. е. P = ∂u ,

∂x

Для отрезка ММ′ используем параметризацию

66

∂u

следует требуемое соотношение для частной производной ∂x . Аналогично проводится доказательства для других производных.

§4. Формула Остроградского Гаусса

Определение. Объемно односвязной областью называется область D, удовлетворяющая следующему свойству. Любая замкнутая, кусочно-гладкая, не самопересекающаяся поверхность, расположенная в D , является границей области целиком лежащей в D. Можно сказать, что внутри области нет полостей.

Рассмотрим объемно односвязную область W и функцию R , определенную в этой

∂R

области и имеющую там непрерывную производную ∂z . Границу этой области, ориентированную положительно, обозначим ∂ W .

Тогда справедлива формула Остроградского Гаусса

При доказательстве этого равенства будем предполагать, что область W выпукла по z ( любая вертикаль пересекает W по отрезку или по пустому множеству). В этом случае область W можно описать, как геометрическое место точек следующего вида:

W = {(x,y,z):z [z1(x,y),z2(x,y)] для любых (x,y) D},

где z1(x,y),z2(x,y) – две непрерывные функции, определенные на D. В этом случае

67

Делая циклические перестановки переменных x→ z→ y, y→ x→ z, z→ y→ x

можно получить еще две формулы для поверхностей выпуклых по другим осям.

Если область W удовлетворяет всем трем условиям одновременно и в области задано поле V=(P,Q,R) c непрерывными частными производными па соответствующим переменным, то эти три формулы можно собрать в одну

Тогда, используя векторные обозначения, формулу Остроградского-Гаусса можно записать в виде

Формула Остроградского Гаусса будет верна и для областей допускающих разбиение на конечное число областей указанного типа.

Пример 1 (4389). Вычислить I = ∫∫ (x-y+z)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy, Ф :

Φ

x − y + z + y − z + x + z − x + y = 1 .

u = x − y + z v = y − z + x

w = z − x + y

в системе координат u,v,w

По формуле Остроградского Гаусса I =3 ∫∫∫dxdydz . Сделаем замену переменных

B

u = x − y + z

= − +

v y z x , в этом случае в новых координатах граница области будет определяться уравнением w = z − x + y

∂ : |u|+|v|+|w|=1. Якобиан отображения равен

68

Пример 2 (4381) Доказать, что если Ф – замкнутая простая положительно ориентированная поверхность, то ∫∫(a, dS )=0, где a - постоянное векторное поле. Утверждение непосредственно

Φ

следует из формулы Остроградского-Гаусса.

Пример 3 (4382). Объем тела равен

W = 1 ∫∫(r, dS ), где ∂W – положительно ориентированная граница области W.

3 ∂W

Утверждение непосредственно следует из формулы Остроградского-Гаусса.

Пример 4 (4383). Объем конуса, ограниченного гладкой конической поверхностью F(x,y,z)=0 и

плоскостью равен W = 1 h Φ , где Φ - площадь основания, h – высота.

3

Поместим начало координат в вершину конуса. Боковую поверхность конуса, ориентированную

внешней нормалью обозначим Ф1 , а основание, ориентированное нормалью − m обозначим Ф2 . Тогда

3 W = ∫∫∫3dxdydz =∫∫∫div r dxdydz = ∫∫(r, dS )= ∫∫(r, n)dS )+ ∫∫(r, n)dS Для боковой

W W ∂W Φ1 Φ 2

поверхности конуса скалярное произведение (r, n)= 0 и ∫∫(r, n)dS = 0 . Для поверхности основания

Φ1

конуса (r, n)= (r,−m)= h , поэтому ∫∫(r, n)dS = h∫∫dS = h Φ .

Φ 2 Φ 2

Пример 5 (4390). Вычислить ∫∫(V , dS ), где Ф – часть конической поверхности x2+y2=z2 , 0≤ z ≤ a ,

Φ

ориентированной внешней нормалью, а поле V = ( x2 , y2 , z 2 ) . Дополним поверхность до замкнутой.

Основание, ориентированное нужным образом обозначим Ф0 .

69