контрольные за 3 семестр у Федосеева Е.П + билеты к экзамену / ВТА экзамен 3 семестр / VTA_pechatnye_lektsii_3_semestr

Рассмотрим область D={(x,y): y1(x) ≤ y ≤ y2(x), x [a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на [a,b]. Области такого вида будем называть областями типа A. Области вида D={(x,y): x1(y) ≤ x ≤ x2(y),y [c,d]}, где x1(y), x2(y) – непрерывные функции на [c,d] называются областями типа B .

Теорема. Если для области типа A существуют ∫∫ f ( x, y)dxdy и для x [a,b]

by2 ( x )

Доказательство. Пусть D={(x,y): y1(x) ≤ y ≤ y2(x), x [a,b]}, где y1(x), y2(x) – непрерывные функции на

[a,b]. Рассмотрим функцию

где R=[A,B] [C,E] прямоугольник, содержащий область D. Для функции f * выполнены условия предыдущей теоремы, поэтому

BE

∫dx∫ f * ( x, y)dy = ∫∫ f * ( x, y)dxdy .

Далее ∫dx∫ f * ( x, y)dy = ∫dx∫ f * ( x, y)dy = ∫dx ∫ f ( x, y)dy . По теореме 3 из параграфа 4 выполнено

A C a C a y1 ( x )

равенство ∫∫ f * ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x, y)dxdy откуда и следует требуемое равенство. Аналогично

R D

доказывается

Теорема. Если для области типа B существуют ∫∫ f ( x, y)dxdy и y [c,d]

11

Примеры: Расставить пределы интегрирования в интеграле ∫∫ f ( x, y)dxdy в том и другом порядке.

§7. Замена переменных в двойном интеграле

1. Отображение плоских областей. Криволинейные координаты.

Рассмотрим два экземпляра плоскости, плоскость переменных x, y и область D в этой плоскости, плоскость переменных ξ, η и область Σ в этой плоскости

Пусть имеется взаимно однозначное отображение области D на Σ

Будем предполагать, что отображения (1), (2) непрерывно дифференцируемы и якобианы этих отображений

12

D(ξ ,η) ≠0, D( x, y) ≠0.

D( x, y) D(ξ ,η)

Отметим, что

D(ξ ,η) D( x, y) =1.

D( x, y) D(ξ ,η)

Вобласти Σ рассмотрим некоторую кусочно-гладкую кривую

ξ= ξ (t)

t [α,β].

η = η(t)

Ее образ в D имеет параметризацию

x = x(ξ (t),η(t))

y = y(ξ (t),η(t)) t [α,β]

и будет также кусочно-гладкой кривой. Действительно,

x' = ∂∂ξx ξ '+ ∂∂ηx η'

∂ ∂ (3). y' = ∂ξy ξ '+ ∂ηy η'

Если (ξ′,η′)≠(0,0), то и (x′,y′)≠(0,0). Если предположить противное, то система (3) с не вырожденной

матрицей коэффициентов должна будет иметь только тривиальное решение, что противоречит условию (ξ′,η′)≠(0,0).

Определение. Кривая, составленная из точек области D вида

называется координатной линией

Неявное задание этой линии имеет вид η(x,y)=η0 (соответственно ξ(x,y)=ξ0).

Определение. Числа ξ0 , η0 из области Σ плоскости (ξ , η) определяющие положение точки (x0 ,y0) из области D плоскости (x ,y) называются криволинейными координатами точки (x0 ,y0). Наоборот, на (x0 ,y0) можно смотреть, как на криволинейные координаты точки (ξ0 , η0).

13

Фиксируя значения ξ или η на плоскости (ξ ,η) можно получить два семейства координатных линий. В области D появляется криволинейная координатная сетка. При сделанных предположениях две линии одного семейства не пересекаются между собой и, через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства

удовлетворяющее условиям предыдущего пункта и разбиение области D линиями, порожденными линиями ξ=const, η=const плоскости ξ, η

Рассмотрим прямоугольник ξ, ξ +Δξ, , η, η +Δη в плоскости ξ, η и его образ в плоскости x, y.

Обозначим для краткости x=x(ξ,η), y=y(ξ,η), тогда

Для вычисления площади фигуры с вершинами

14

A(x,y), B(x(ξ +Δξ ,η), y(ξ +Δξ ,η)), C(x(ξ +Δξ , η +Δη), y(ξ +Δξ , η +Δη)), E( x(ξ ,η +Δη), y(ξ ,η +Δη))

рассмотрим параллелограмм A=A′, B′, C′, E′ с координатами вершин

A′=A=(x,y), B′=( x + ∂∂ξx Δξ, y + ∂∂ξy Δξ ), C′=( x + ∂∂ξx Δξ + ∂∂ηx Δη, y + ∂∂ξy Δξ + ∂∂ηy Δη ),

E′=( x + ∂∂ηx Δη, y + ∂∂ηy Δη ) .

Этот параллелограмм построен на векторах A′B′, A′E′,

Вершины A,A′, B,B′, C,C′, E,E′ отличаются на o(ρ). Можно показать, что в этом случае площади будут отличаться на o(ρ2)

µ(A′,B′,C′,E′)= D( x, y) ΔξΔη + o(ρ2).

D(ξ ,η)

Докажем последнее равенство для случая, когда область Σ представляет собой квадрат [α,β]×[α,β]

15

непрерывно дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан в области D.

Лемма. Если функция f(x, y) интегрируема на D, то функция F(ξ, η)=f(x(ξ, η),y(ξ, η)) интегрируема на Σ .

Доказательство. Любое разбиение области D порождает разбиение области Σ и наоборот. Таким образом связанные между собой разбиения, будем обозначать D={Dk} , Σ={Σk}. Здесь Dk и Σk – подобласти, переходящие друг в друга при заданном отображении .

Для разбиений D={Dk} , Σ={Σk} можно выписать соотношение между колебаниями функций

Откуда и следует интегрируемость функции F(ξ, η) на Σ.

Теорема. Пусть функция f интегрируема в D, тогда

D( x, y)

∫∫D f ( x, y)dxdy = ∫∫Σ f [ x(ξ ,η), y(ξ ,η)] D(ξ ,η) dξdη .

Доказательство. Согласно доказанной лемме интеграл справа существует. Выберем некоторое разбиение области Σ на подобласти Σi и соответствующее ему разбиение области D на множества Di. Тогда по теореме о среднем для каждого i будет существовать точка (ξi , ηi ), для которой

18

Для этих точек (ξj,ηj ) и соответствующих им точек (xj,yj ) можно выписать интегральные суммы

При переходе к пределу при измельчении разбиения левая и правая части этого равенства будут сходиться к интегралам

соответственно.

Пример 1. Рассмотреть область D={ϕ [α,β],r [r1,r2]} и сделать замену в интеграле ∫∫ f ( x, y)dxdy ,

D

используя полярные координаты.

Пример 2. Сделать замену переменных u=x+y, v=y – x в интеграле ∫∫ f ( x, y)dxdy для области

D

D={|x|+|y|≤ 1}.

Пример 3 (3959). Сделать замену переменных x=u cos4v, y= u sin4v в интеграле ∫∫ f ( x, y)dxdy для

D

области D, ограниченной кривыми x=0, y=0, x + y = a .

19

Пример 4. Является ли конечной площадь области, заключенной между биссектрисой 2-4 –го координатных углов и кривой (x3+y3)2=x2+y2.

Перейдем к полярным координатам

§1. Тройные и n-кратные интегралы

1.Определение тройного и n-кратного интеграла

Пусть D кубируема, ее площадь будем обозначать µD , функция f(M)=f(x,y,z) определена и ограничена в области D. Предположим, что D разбита поверхностями на кубируемые подобласти Dk (совокупность {Dk} называется разбиением области D). В каждой из подобластей Dk выберем точку Mk=(ξk,ηk,ζk) Dk. Полученный набор точек обозначим Ξ ={Mk}. Интегральной суммой для набора f, разбиения , набора промежуточных точек Ξ называется выражение

20