Скачиваний:
44
Добавлен:
10.05.2014
Размер:
1.75 Mб
Скачать

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина λ( )= max dDk называется

0≤ k < n

характеристикой разбиения . Здесь dDk = sup ρ (P,Q) диаметр множества Dk .

P ,Q Dk

Условие Mk Dk, для всех k мы будем обозначать Ξ .

Определение. Предел интегральных сумм σ(f, , Ξ) при λ( )→0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается

∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = λ lim σ ( f , , Ξ) .

( )→0

D

Можно использовать обозначение ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = f (M )dM ( вместо M можно использовать

D D

любую подходящую букву, например f ( x)dx ).

D

Более точно это определение выглядит следующим образом:

J ε>0 δ>0:(λ( )<δ, Ξ ) |σ(f, , Ξ) - J|<ε.

Понятие длины, площади, объема распространяется и на области n- мерного евклидова пространства. В этом случае говорят об измеримости множества D n- мерного пространства и о его мере µD. Для измеримой области D и определенной на ней функции f(x)=f(x1,x2,…,xn) рассматривается разбиение этой области на измеримые множества {Dk}. В каждой из подобластей

выбираются промежуточные точки ξk=( ξ k ,ξ k ,...,ξ k ) ) Dk. Полученный набор точек обозначим Ξ

1

2

n

 

={ξk}. Интегральной суммой для набора f,

, Ξ называется выражение

σ ( f , , Ξ) = f (ξ k )µDk

(1)

 

k

 

 

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина λ( )= max dDk , где максимум

k

берется по всем множествам разбиения, называется характеристикой разбиения . Как и раньше, dDk = sup ρ ( x, y) диаметр множества Dk , где точная верхняя грань берется по всевозможным

x, y Dk

точкам x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn) из Dk .

Определение. Предел интегральных сумм σ(f, , Ξ) при λ( от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется обозначается

)→0 (если он существует и не зависит интегралом от функции f на D и

f ( x)dx = lim σ ( f , , Ξ) .

D

λ ( )→0

 

Для n-кратных интегралов имеют места свойства, аналогичные свойствам, сформулированным для двойных интегралов. Перечислим некоторые из этих свойств.

1) dx = µD

D

1) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

(f(x) + g(x))dx =

f(x)dx +

g(x)dx.

D

D

D

 

21

2)Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и

cf (x)dx =c f (x)dx .

D D

3) Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и

| f (x)dx | ≤ | f (x) | dx .

D D

4)Если f и g интегрируемы на D и f ≤ g на D , то

f (x)dx g(x)dx .

D D

6) Если m ≤ f(x) ≤ M на D, то c [m,M] :

f (x)dx = c µD.

D

Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то ξ D:

f ( x)dx = f(ξ)µD.

D

7)Непрерывная на компакте функция интегрируема на этом компакте.

8)Если µD = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено

f(x) dx=0.

D

2. Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда

Пусть V – прямоугольный параллелепипед [a,b]× [c,d] × [g,h] и функция f(x,y,z) определена на V. Обозначим прямоугольник [c,d] × [g,h] через D.

22

Теорема. Если существует ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz и для любого x [a,b] существует ∫∫ f (x, y, z)dydz ,

 

V

D

b

 

 

то существует интеграл dx∫∫ f (x, y, z)dydz

и имеет место равенство

a

D

 

b

dx∫∫ f (x, y, z)dydz = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz .

a D

V

 

 

 

b

 

b

 

 

(здесь и в дальнейшем используются обозначения dx∫∫ f (x, y, z)dydz =

∫∫ f (x, y, z)dydz dx )

a

D

a

D

 

Доказательство. Рассмотрим разбиение области V :

={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.

Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1]×[yj,yj+1]×[zk,zk+1],i=0,…,n-1, j=0,…,m-1, z=0,…,l-1.

Кроме того, будем использовать обозначения X=(x,y,z)

mijk= inf f ( X ) , Mijk= sup

f ( X ) . Тогда для X Vijk справедливы неравенства mijk≤ f(X) ≤ Mijk .

X Vijk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X Vijk

 

 

 

 

 

 

 

Для набора промежуточных точек i }, ξ i [xi,xi+1] будет выполнено

 

 

 

 

 

mijk

yj

zk ∫∫ f (ξi , y, z)dydz Mijk yj

zk,

 

 

 

 

 

 

D jk

 

 

 

 

 

m −1 l −1

 

 

 

m −1 l −1

 

 

 

 

∑∑

mijk

yj

zk ∫∫ f (ξi , y, z)dydz ∑∑ Mijk

yj

zk,

 

j = 0 k =0

 

 

D

j =0 k = 0

 

 

 

Домножая последние неравенства на

xi и суммируя, получим

 

 

 

n−1 m −1 l −1

 

n −1

 

 

n−1 m−1 l −1

 

 

 

∑∑∑ mijk

xi yj zk

xi

∫∫ f (ξi , y, z)dydz ∑∑∑ Mijk

xi

yj

zk .

i =0 j =0 k =0

 

i =0

D

 

i =0 j =0 k =0

 

 

 

b

Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла dx∫∫ f (x, y, z)dydz , крайние суммы

a D

являются суммами Дарбу для интеграла ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz , откуда и следует требуемое

V

утверждение.

Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида

b

dx∫∫ f (x, y, z)dydz = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ,

a Dx V

d

dy ∫∫ f ( x, y, z)dxdz = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ,

c D y V

23

h

dz∫∫ f (x, y, z)dxdy = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz .

g Dz V

Через Dx , Dy , Dz обозначены проекции области V на координатные плоскости x=0, y=0, z=0 , соответственно.

В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом

b

d

h

 

 

 

 

dxdyf ( x, y, z)dz = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ,

 

a

c

g

V

 

 

 

b

h

d

 

 

 

 

dxdzf (x, y, z)dy = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz .

 

a

g

c

V

 

 

 

b

d

h

b d h

 

 

(используются обозначения dxdy

 

 

 

 

f (x, y, z)dz =

∫ ∫ f ( x, y, z)dz dy

dx )

a

c

g

a c g

 

 

Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства

h

∫∫dxdyf ( x, y, z)dz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,

Dxy g V

d

∫∫dzdxf ( x, y, z)dy = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,

Dzx c V

b

∫∫dydzf ( x, y, z)dx = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,

D yz a V

Здесь Dxy =Dz =[a,b] [c,d], Dzx=Dy =[g,h] [a,b] , Dyz =Dx = [c,d] [g,h].

3. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего вида

Пусть V – область, расположенная между плоскостями x=a, x=b, Lx плоскость параллельная координатной плоскости Oyz, проходящая через точку x.Для x [a,b] обозначим через Dx сечение VLx . Будем предполагать, что Dx квадрируема для всех x [a,b]. При этих предположениях справедлива

Теорема. Если существует ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz и для x [a,b] существует I(x)= ∫∫ f ( x, y, z)dydz то

V Dx

b

существует и dx∫∫ f ( x, y, z)dydz и

aDx

b

dx∫∫ f ( x, y, z)dydz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .

a Dx V

24

Доказательство. Обозначим через R=[a,b]× [c,d] × [g,h] прямоугольный параллелепипед, содержащий область V и определим на R функцию

 

f (M ), M V

 

f*(M)=

.

 

 

0, M R \ V

Тогда

 

 

 

b

 

∫∫∫ f * ( x, y, z)dxdydz = dx∫∫ f * ( x, y, z)dydz , Rx= [c,d]× [g,h].

R

a Rx

Для левого и правого интегралов справедливы равенства

∫∫∫ f * ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f * ( x, y, z)dxdydz + ∫∫∫ f * ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .

R

V

R\V

V

b

b

b

 

dx∫∫ f * ( x, y, z)dydz = dx∫∫ f * ( x, y, z)dydz = dx∫∫ f ( x, y, z)dydz .

a Rx a Dx a Dx

Замечание. Сечение Dx = V∩ Lx может быть задано в виде

Dx = {(y,z): y1(x) ≤ y ≤ y2(x) , z1(x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)}.

25

В этом случае пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить следующим образом

∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz =

b

y 2 ( x )

z2 ( x, y )

 

z 2 ( x, y )

dx

dy

f ( x, y, z)dz =

∫∫dxdy

f ( x, y, z)dz .

V

a

y1 ( x )

z1 ( x, y )

D

z1 ( x, y )

D – представляет собой проекцию V на плоскость z=0. Эту область можно также описать в виде

D = {(x,y):a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)}. Расставляя переменные x,y,z в другом порядке можно получить другие аналогичные формулы представления тройного интеграла через повторные.

4. Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле

Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение с якобианом, отличным от нуля

x = x(ξ ,η,ζ )

y = y(ξ ,η,ζ ) , (ξ, η, ζ ) Σ

z = z(ξ ,η,ζ )

из Σ в V, где области Σ и V кубируемы. Тогда для объема области V справедлива формула

 

 

 

µ V = ∫∫∫

 

D( x, y, z)

dξ dη dζ

(4).

 

 

 

 

D(ξ ,η,ζ

 

 

 

Σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D( x, y, z)

 

 

 

 

D( x, y, z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫∫dx dy dz =µ V = ∫∫∫

 

 

dξ dη dζ =

 

 

 

 

 

 

 

µ Σ.

 

 

 

D(ξ ,η,ζ

 

 

 

 

 

Σ

 

 

 

 

 

 

 

D(ξ ,η,ζ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

(ξ ,η

,ζ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда следует, что в любой точке области M0=(ξ0 0 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D( x, y, z)

 

 

 

 

 

 

= lim µV .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(ξ ,η,ζ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ξ

,η

,ζ

 

Σ→M 0

µΣ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема ( о замене переменных ). Если f интегрируема в V, то

 

 

 

 

 

 

∫∫∫ f ( x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ f [ x(ξ ,η,ζ ), y(ξ ,η,ζ ), z(ξ ,η,ζ )]

 

D( x, y, z)

 

dξ dη dζ .

 

 

 

D(ξ ,η,ζ

V

 

 

Σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Интегрируемость функции F(ξ,η,ζ)=f[x(ξ,η,ζ),y(ξ,η,ζ),z(ξ,η,ζ)] на Σ доказывается так же, как и в случае двойного интеграла. Выберем какое-либо разбиение j} области Σ и обозначим через {Vj} соответствующее разбиение области V. Согласно формуле (4)

26

µ Vj = ∫∫∫

D(x,y,z)

dξ dη dζ =

D( x, y, z)

 

 

 

 

 

µ Σj.

D(ξ ,η,ζ)

D(ξ ,η,ζ )

 

 

 

Σ j

 

(ξ

,η

,ζ

 

)

 

 

 

 

 

j

j

 

j

 

Полученные таким образом точки Mj = (ξj , ηj , ζj ) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм функции F(ξ,η,ζ) и разбиения j}, а соответствующие точки Pj = (xj , yj , zj ) для интегральных сумм функции f(x,y,z) и разбиения {Vj}. В этом случае

f (Pj )µV j = f [ x(M j

), y(M j

), x(M j

)]

D( x, y, z)

 

µΣ j .

D(ξ ,η,ζ )

j

j

 

 

 

M j

 

 

 

 

 

 

 

Из этого равенства следует требуемое утверждение.

Пример 1. Цилиндрические координаты

∫∫∫ x2 + y2 dx dy dz , x2+y2=z2, 0 ≤ z ≤ 1

V

 

 

 

 

 

x = r cosϕ

 

 

 

 

y = r sin ϕ

 

 

 

D( x, y, z)

= r .

,

 

 

 

D(r,ϕ, h)

z = h

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае D = {(r,ϕ,h): 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ z , z [0,1]} .

 

 

 

1

 

 

1

2π

z

1

z

3

dz = π .

∫∫∫

x2 + y2

dx dy dz = ∫∫∫r 2 dr dϕ dz = dz ∫∫r 2 dr dϕ = dz r 2dr = 2π

 

3

V

 

D

0

D

z

0

0

0

0

6

Пример 2. Сферические координаты

A= ∫∫∫xyzdx dy dz , x2+y2+z2 ≤ 1, 0 ≤ x , 0 ≤ y , 0 ≤ z .

V

27

x = ρ cosθ cosϕ

 

 

 

ρ cosθ sin ϕ

 

cosθ cosϕ

ρ sinθ cosϕ

y = ρ cosθ sin ϕ

 

D( x, y, z)

= ρ cosθ cosϕ

 

cosθ sin ϕ

ρ sinθ sin ϕ =

,

D(ϕ, ρ,θ )

 

 

z = ρ sinθ

 

 

 

 

0

 

 

 

sinθ

 

 

 

ρ cosθ

 

=-sinθ (ρ2sinθ cosθ sin2ϕ+ρ2sinθ cosθ cos2ϕ)-ρcosθ(ρ cos2θ sin2ϕ+ρ cos2θ cos2ϕ) =

=-sinθ ρ2sinθ cosθ -ρcosθ ρ cos2θ =-ρ2cos θ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π / 2

 

 

π / 2

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

π

 

 

1

 

 

 

 

= 1

 

 

2

ϕ

2

 

 

4

θ

2

1 .

 

 

ρ 5

 

cosϕ sin ϕdϕ

 

cos3 θ sin θdθ

 

 

A=

sin

 

 

 

cos

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

6

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

48

 

0

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1− x

x + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3. В интеграле dx dy f ( x, y, z)dz

расставить пределы интегрирования в порядке

 

 

 

 

 

 

0

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdzdy и dzdxdy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

x + y

 

 

 

Пример 4. Заменить тройной интегрлал однократным dxdy f ( z)dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

 

 

 

 

28

1

1

x + y

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

2

dxdy f ( z)dz

= f ( z)dz ∫∫dxdy + f ( z)dz ∫∫dxdy = f ( z) Dz dz + f ( z) Dz dz =

0

0

0

 

 

 

0

 

 

Dz

 

 

1

 

Dz

0

1

1

 

 

z

2

 

2

1

(

 

 

)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ f ( z)

z

dz

 

 

 

 

 

 

f ( z) 1 −

2

dz

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Замена переменных в общем случае

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим регулярное отображение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 = x1 (u1 ,u2 ,...,un )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

= x (u ,u

 

,...,u

n

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 1

2

 

 

( кратко x=x(u) )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= xn (u1 ,u2 ,...,un )

 

 

из области Σ в область V. При измеримости областей Σ , V справедлива формула замены переменных

 

x

 

 

f ( x)dx = f [ x(u)]

 

 

du ,

u

V

Σ

 

 

 

 

 

 

существование интегралов предполагается.

Глава 3. Криволинейные интегралы

§1. Криволинейные интегралы 1-го рода

1.Определение, существование

Рассмотрим спрямляемую кривую γ и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой

29

«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {Tk}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой T={Tk} . На каждой дуге Tk Tk+1 задана промежуточная точка Ξk=(ξk , ηk , ζk ), Ξ={ Ξk }, обозначим длину дуги Tk Tk+1 через lk , длину хорды, стягивающей дугу Tk Tk+1 обозначим lk . Характеристикой разбиения T назовем величину λ(T) = max lk . Составим интегральные суммы следующего вида

n−1

 

σ(f,T,Ξ)= f k ) lk

(1).

k =0

Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения λ(T), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается

f ( x, y, z)ds = lim σ ( f ,T , Ξ) .

γ

λ (T ) →0

 

Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла

J ε>0 δ>0:(λ(T)<δ, Ξ T) |σ(f,T, Ξ) - J|<ε.

Можно использовать эквивалентное определение, беря в качестве интегральных сумм суммы вида

n−1

f (Tk )lk , где вместо длины хорды lk берется длина дуги lk . Доказательство эквивалентности этих

k =0

определений для гладкой кривой будет дано позже.

Замечание 1. Если кривая γ плоская, (например, лежит в плоскости Oxy), и f=f(x,y), то интеграл обозначается f ( x, y)ds .

γ

Замечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системы координат. Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат.

Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрически

x = x(t)

y = y(t) , t [α, β] (2) z = z(t)

Теорема 1. Если кривая (2) гладкая (непрерывно дифференцируема без особых точек

(x′ 2+y′ 2+z′ 2≠0)), функция f(x,y,z) непрерывна на (2), тогда криволинейный интеграл

f ( x, y, z)ds существует и имеет место равенство

γ

30