контрольные за 3 семестр у Федосеева Е.П + билеты к экзамену / ВТА экзамен 3 семестр / VTA_pechatnye_lektsii_3_semestr

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина λ( )= max dDk называется

0≤ k < n

характеристикой разбиения . Здесь dDk = sup ρ (P,Q) – диаметр множества Dk .

P ,Q Dk

Условие Mk Dk, для всех k мы будем обозначать Ξ .

Определение. Предел интегральных сумм σ(f, , Ξ) при λ( )→0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается

∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = λ lim σ ( f , , Ξ) .

( )→0

D

Можно использовать обозначение ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫ f (M )dM ( вместо M можно использовать

D D

любую подходящую букву, например ∫ f ( x)dx ).

D

Более точно это определение выглядит следующим образом:

J ε>0 δ>0:(λ( )<δ, Ξ ) |σ(f, , Ξ) - J|<ε.

Понятие длины, площади, объема распространяется и на области n- мерного евклидова пространства. В этом случае говорят об измеримости множества D n- мерного пространства и о его мере µD. Для измеримой области D и определенной на ней функции f(x)=f(x1,x2,…,xn) рассматривается разбиение этой области на измеримые множества {Dk}. В каждой из подобластей

Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина λ( )= max dDk , где максимум

k

берется по всем множествам разбиения, называется характеристикой разбиения . Как и раньше, dDk = sup ρ ( x, y) – диаметр множества Dk , где точная верхняя грань берется по всевозможным

x, y Dk

Для n-кратных интегралов имеют места свойства, аналогичные свойствам, сформулированным для двойных интегралов. Перечислим некоторые из этих свойств.

1) ∫dx = µD

D

1) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и

21

Теорема. Если существует ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz и для любого x [a,b] существует ∫∫ f (x, y, z)dydz ,

b

∫dx∫∫ f (x, y, z)dydz = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz .

Доказательство. Рассмотрим разбиение области V :

={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.

Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1]×[yj,yj+1]×[zk,zk+1],i=0,…,n-1, j=0,…,m-1, z=0,…,l-1.

Кроме того, будем использовать обозначения X=(x,y,z)

b

Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла ∫dx∫∫ f (x, y, z)dydz , крайние суммы

a D

являются суммами Дарбу для интеграла ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz , откуда и следует требуемое

V

утверждение.

Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида

b

∫dx∫∫ f (x, y, z)dydz = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ,

a Dx V

d

∫dy ∫∫ f ( x, y, z)dxdz = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ,

c D y V

23

h

∫dz∫∫ f (x, y, z)dxdy = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz .

g Dz V

Через Dx , Dy , Dz обозначены проекции области V на координатные плоскости x=0, y=0, z=0 , соответственно.

В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом

Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства

h

∫∫dxdy∫ f ( x, y, z)dz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,

Dxy g V

d

∫∫dzdx∫ f ( x, y, z)dy = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,

Dzx c V

b

∫∫dydz∫ f ( x, y, z)dx = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,

D yz a V

Здесь Dxy =Dz =[a,b] [c,d], Dzx=Dy =[g,h] [a,b] , Dyz =Dx = [c,d] [g,h].

3. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего вида

Пусть V – область, расположенная между плоскостями x=a, x=b, Lx – плоскость параллельная координатной плоскости Oyz, проходящая через точку x.Для x [a,b] обозначим через Dx сечение V∩ Lx . Будем предполагать, что Dx квадрируема для всех x [a,b]. При этих предположениях справедлива

Теорема. Если существует ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz и для x [a,b] существует I(x)= ∫∫ f ( x, y, z)dydz то

V Dx

b

существует и ∫dx∫∫ f ( x, y, z)dydz и

aDx

b

∫dx∫∫ f ( x, y, z)dydz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .

a Dx V

24

Полученные таким образом точки Mj = (ξj , ηj , ζj ) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм функции F(ξ,η,ζ) и разбиения {Σj}, а соответствующие точки Pj = (xj , yj , zj ) для интегральных сумм функции f(x,y,z) и разбиения {Vj}. В этом случае

Из этого равенства следует требуемое утверждение.

Пример 1. Цилиндрические координаты

∫∫∫ x2 + y2 dx dy dz , x2+y2=z2, 0 ≤ z ≤ 1

В этом случае D = {(r,ϕ,h): 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ z , z [0,1]} .

Пример 2. Сферические координаты

A= ∫∫∫xyzdx dy dz , x2+y2+z2 ≤ 1, 0 ≤ x , 0 ≤ y , 0 ≤ z .

V

27