
контрольные за 3 семестр у Федосеева Е.П + билеты к экзамену / ВТА экзамен 3 семестр / VTA_pechatnye_lektsii_3_semestr
.pdfСуммирование производится по всем областям разбиения. Величина λ( )= max dDk называется
0≤ k < n
характеристикой разбиения . Здесь dDk = sup ρ (P,Q) – диаметр множества Dk .
P ,Q Dk
Условие Mk Dk, для всех k мы будем обозначать Ξ .
Определение. Предел интегральных сумм σ(f, , Ξ) при λ( )→0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется тройным интегралом от функции f на D и обозначается
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = λ lim σ ( f , , Ξ) .
( )→0
D
Можно использовать обозначение ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫ f (M )dM ( вместо M можно использовать
D D
любую подходящую букву, например ∫ f ( x)dx ).
D
Более точно это определение выглядит следующим образом:
J ε>0 δ>0:(λ( )<δ, Ξ ) |σ(f, , Ξ) - J|<ε.
Понятие длины, площади, объема распространяется и на области n- мерного евклидова пространства. В этом случае говорят об измеримости множества D n- мерного пространства и о его мере µD. Для измеримой области D и определенной на ней функции f(x)=f(x1,x2,…,xn) рассматривается разбиение этой области на измеримые множества {Dk}. В каждой из подобластей
выбираются промежуточные точки ξk=( ξ k ,ξ k ,...,ξ k ) ) Dk. Полученный набор точек обозначим Ξ |
|||
1 |
2 |
n |
|
={ξk}. Интегральной суммой для набора f, |
, Ξ называется выражение |
||
σ ( f , , Ξ) = ∑ f (ξ k )µDk |
(1) |
||
|
k |
|
|
Суммирование производится по всем областям разбиения. Величина λ( )= max dDk , где максимум
k
берется по всем множествам разбиения, называется характеристикой разбиения . Как и раньше, dDk = sup ρ ( x, y) – диаметр множества Dk , где точная верхняя грань берется по всевозможным
x, y Dk
точкам x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn) из Dk .
Определение. Предел интегральных сумм σ(f, , Ξ) при λ( от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется обозначается
)→0 (если он существует и не зависит интегралом от функции f на D и
∫ |
f ( x)dx = lim σ ( f , , Ξ) . |
D |
λ ( )→0 |
|
Для n-кратных интегралов имеют места свойства, аналогичные свойствам, сформулированным для двойных интегралов. Перечислим некоторые из этих свойств.
1) ∫dx = µD
D
1) Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и
∫ |
(f(x) + g(x))dx = ∫ |
f(x)dx + ∫ |
g(x)dx. |
D |
D |
D |
|
21

2)Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и
∫cf (x)dx =c ∫ f (x)dx .
D D
3) Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и
| ∫ f (x)dx | ≤ ∫| f (x) | dx .
D D
4)Если f и g интегрируемы на D и f ≤ g на D , то
∫f (x)dx ≤ ∫g(x)dx .
D D
6) Если m ≤ f(x) ≤ M на D, то c [m,M] :
∫ f (x)dx = c µD.
D
Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то ξ D:
∫ f ( x)dx = f(ξ)µD.
D
7)Непрерывная на компакте функция интегрируема на этом компакте.
8)Если µD = 0, то для любой ограниченной функции f будет выполнено
∫f(x) dx=0.
D
2. Сведение тройного интеграла к повторному для прямоугольного параллелепипеда
Пусть V – прямоугольный параллелепипед [a,b]× [c,d] × [g,h] и функция f(x,y,z) определена на V. Обозначим прямоугольник [c,d] × [g,h] через D.
22
Теорема. Если существует ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz и для любого x [a,b] существует ∫∫ f (x, y, z)dydz ,
|
V |
D |
b |
|
|
то существует интеграл ∫dx∫∫ f (x, y, z)dydz |
и имеет место равенство |
|
a |
D |
|
b
∫dx∫∫ f (x, y, z)dydz = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz .
a D |
V |
|
|
|
b |
|
b |
|
|
(здесь и в дальнейшем используются обозначения ∫dx∫∫ f (x, y, z)dydz = ∫ |
∫∫ f (x, y, z)dydz dx ) |
|||
a |
D |
a |
D |
|
Доказательство. Рассмотрим разбиение области V :
={a=x0<…<xn=b;c=y0<…<ym=d;g=z0<…<zl=h}.
Полученные подобласти обозначим Vijk=[xi,xi+1]×[yj,yj+1]×[zk,zk+1],i=0,…,n-1, j=0,…,m-1, z=0,…,l-1.
Кроме того, будем использовать обозначения X=(x,y,z)
mijk= inf f ( X ) , Mijk= sup |
f ( X ) . Тогда для X Vijk справедливы неравенства mijk≤ f(X) ≤ Mijk . |
|||||||
X Vijk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X Vijk |
|
|
|
|
|
|
|
Для набора промежуточных точек {ξ i }, ξ i [xi,xi+1] будет выполнено |
|
|
|
|||||
|
|
mijk |
yj |
zk ≤ ∫∫ f (ξi , y, z)dydz ≤ Mijk yj |
zk, |
|
|
|
|
|
|
|
D jk |
|
|
|
|
|
m −1 l −1 |
|
|
|
m −1 l −1 |
|
|
|
|
∑∑ |
mijk |
yj |
zk ≤ ∫∫ f (ξi , y, z)dydz ≤ ∑∑ Mijk |
yj |
zk, |
||
|
j = 0 k =0 |
|
|
D |
j =0 k = 0 |
|
|
|
Домножая последние неравенства на |
xi и суммируя, получим |
|
|
|
||||
n−1 m −1 l −1 |
|
n −1 |
|
|
n−1 m−1 l −1 |
|
|
|
∑∑∑ mijk |
xi yj zk ≤ |
∑ xi |
∫∫ f (ξi , y, z)dydz ≤ ∑∑∑ Mijk |
xi |
yj |
zk . |
||
i =0 j =0 k =0 |
|
i =0 |
D |
|
i =0 j =0 k =0 |
|
|
|
b
Средняя сумма является интегральной суммой для интеграла ∫dx∫∫ f (x, y, z)dydz , крайние суммы
a D
являются суммами Дарбу для интеграла ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz , откуда и следует требуемое
V
утверждение.
Аналогичные теоремы можно доказать для других порядков интегрирования. Таким образом, при выполнении соответствующих условий получаются равенства вида
b
∫dx∫∫ f (x, y, z)dydz = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ,
a Dx V
d
∫dy ∫∫ f ( x, y, z)dxdz = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz ,
c D y V
23
h
∫dz∫∫ f (x, y, z)dxdy = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz .
g Dz V
Через Dx , Dy , Dz обозначены проекции области V на координатные плоскости x=0, y=0, z=0 , соответственно.
В свою очередь внутренние двойные интегралы можно представить в виде повторных. Для первого из написанных соотношений это будет выглядеть следующим образом
b |
d |
h |
|
|
|
|
∫dx∫dy∫ f ( x, y, z)dz = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz , |
|
|||||
a |
c |
g |
V |
|
|
|
b |
h |
d |
|
|
|
|
∫dx∫dz∫ f (x, y, z)dy = ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz . |
|
|||||
a |
g |
c |
V |
|
|
|
b |
d |
h |
b d h |
|
|
|
(используются обозначения ∫dx∫dy∫ |
|
|
|
|
||
f (x, y, z)dz = ∫ |
∫ ∫ f ( x, y, z)dz dy |
dx ) |
||||
a |
c |
g |
a c g |
|
|
Теперь можно собирать внешние повторные интегралы в двойные, в результате получаться три равенства
h
∫∫dxdy∫ f ( x, y, z)dz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,
Dxy g V
d
∫∫dzdx∫ f ( x, y, z)dy = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,
Dzx c V
b
∫∫dydz∫ f ( x, y, z)dx = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz ,
D yz a V
Здесь Dxy =Dz =[a,b] [c,d], Dzx=Dy =[g,h] [a,b] , Dyz =Dx = [c,d] [g,h].
3. Сведение тройного интеграла к повторному интегралу для областей общего вида
Пусть V – область, расположенная между плоскостями x=a, x=b, Lx – плоскость параллельная координатной плоскости Oyz, проходящая через точку x.Для x [a,b] обозначим через Dx сечение V∩ Lx . Будем предполагать, что Dx квадрируема для всех x [a,b]. При этих предположениях справедлива
Теорема. Если существует ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz и для x [a,b] существует I(x)= ∫∫ f ( x, y, z)dydz то
V Dx
b
существует и ∫dx∫∫ f ( x, y, z)dydz и
aDx
b
∫dx∫∫ f ( x, y, z)dydz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .
a Dx V
24

Доказательство. Обозначим через R=[a,b]× [c,d] × [g,h] прямоугольный параллелепипед, содержащий область V и определим на R функцию
|
f (M ), M V |
|
|
f*(M)= |
. |
|
|
0, M R \ V |
Тогда |
|
|
|
b |
|
∫∫∫ f * ( x, y, z)dxdydz = ∫dx∫∫ f * ( x, y, z)dydz , Rx= [c,d]× [g,h]. |
||
R |
a Rx |
Для левого и правого интегралов справедливы равенства
∫∫∫ f * ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f * ( x, y, z)dxdydz + ∫∫∫ f * ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .
R |
V |
R\V |
V |
b |
b |
b |
|
∫dx∫∫ f * ( x, y, z)dydz = ∫dx∫∫ f * ( x, y, z)dydz = ∫dx∫∫ f ( x, y, z)dydz .
a Rx a Dx a Dx
Замечание. Сечение Dx = V∩ Lx может быть задано в виде
Dx = {(y,z): y1(x) ≤ y ≤ y2(x) , z1(x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)}.
25

В этом случае пределы интегрирования в тройном интеграле можно расставить следующим образом
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = |
b |
y 2 ( x ) |
z2 ( x, y ) |
|
z 2 ( x, y ) |
∫dx |
∫ dy |
∫ f ( x, y, z)dz = |
∫∫dxdy |
∫ f ( x, y, z)dz . |
|
V |
a |
y1 ( x ) |
z1 ( x, y ) |
D |
z1 ( x, y ) |
D – представляет собой проекцию V на плоскость z=0. Эту область можно также описать в виде
D = {(x,y):a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)}. Расставляя переменные x,y,z в другом порядке можно получить другие аналогичные формулы представления тройного интеграла через повторные.
4. Замена переменных в тройном и n-кратном интеграле
Пусть задано взаимно-однозначное, непрерывно - дифференцируемое отображение с якобианом, отличным от нуля
x = x(ξ ,η,ζ )
y = y(ξ ,η,ζ ) , (ξ, η, ζ ) Σ
z = z(ξ ,η,ζ )
из Σ в V, где области Σ и V кубируемы. Тогда для объема области V справедлива формула
|
|
|
µ V = ∫∫∫ |
|
D( x, y, z) |
dξ dη dζ |
(4). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
D(ξ ,η,ζ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из этой формулы и теоремы о среднем следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
D( x, y, z) |
|
|
|
|
D( x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫∫∫dx dy dz =µ V = ∫∫∫ |
|
|
dξ dη dζ = |
|
|
|
|
|
|
|
µ Σ. |
|
|
||||||||||
|
D(ξ ,η,ζ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
D(ξ ,η,ζ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
(ξ ,η |
,ζ ) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Откуда следует, что в любой точке области M0=(ξ0 ,η0 ,ζ0 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
D( x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
= lim µV . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
D(ξ ,η,ζ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(ξ |
,η |
,ζ |
|
Σ→M 0 |
µΣ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема ( о замене переменных ). Если f интегрируема в V, то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫∫∫ f ( x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ f [ x(ξ ,η,ζ ), y(ξ ,η,ζ ), z(ξ ,η,ζ )] |
|
D( x, y, z) |
|
dξ dη dζ . |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
D(ξ ,η,ζ |
||||||||||||||||||||||
V |
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Интегралы справа и слева существуют. Интегрируемость функции F(ξ,η,ζ)=f[x(ξ,η,ζ),y(ξ,η,ζ),z(ξ,η,ζ)] на Σ доказывается так же, как и в случае двойного интеграла. Выберем какое-либо разбиение {Σj} области Σ и обозначим через {Vj} соответствующее разбиение области V. Согласно формуле (4)
26

µ Vj = ∫∫∫ |
D(x,y,z) |
dξ dη dζ = |
D( x, y, z) |
|
|
|
|
|
µ Σj. |
D(ξ ,η,ζ) |
D(ξ ,η,ζ ) |
|
|
|
|||||
Σ j |
|
(ξ |
,η |
,ζ |
|
) |
|||
|
|
|
|
|
j |
j |
|
j |
|
Полученные таким образом точки Mj = (ξj , ηj , ζj ) будем рассматривать как промежуточные точки для интегральных сумм функции F(ξ,η,ζ) и разбиения {Σj}, а соответствующие точки Pj = (xj , yj , zj ) для интегральных сумм функции f(x,y,z) и разбиения {Vj}. В этом случае
∑ f (Pj )µV j = ∑ f [ x(M j |
), y(M j |
), x(M j |
)] |
D( x, y, z) |
|
µΣ j . |
||
D(ξ ,η,ζ ) |
||||||||
j |
j |
|
|
|
M j |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Из этого равенства следует требуемое утверждение.
Пример 1. Цилиндрические координаты
∫∫∫ x2 + y2 dx dy dz , x2+y2=z2, 0 ≤ z ≤ 1
V |
|
|
|
|
|
x = r cosϕ |
|
|
|
|
|
y = r sin ϕ |
|
|
|
D( x, y, z) |
= r . |
, |
|
|
|
||
D(r,ϕ, h) |
|||||
z = h |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае D = {(r,ϕ,h): 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ z , z [0,1]} .
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2π |
z |
1 |
z |
3 |
dz = π . |
|
∫∫∫ |
x2 + y2 |
dx dy dz = ∫∫∫r 2 dr dϕ dz = ∫dz ∫∫r 2 dr dϕ = ∫dz ∫dϕ ∫r 2dr = 2π ∫ |
|
||||||||||
3 |
|||||||||||||
V |
|
D |
0 |
D |
z |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
Пример 2. Сферические координаты
A= ∫∫∫xyzdx dy dz , x2+y2+z2 ≤ 1, 0 ≤ x , 0 ≤ y , 0 ≤ z .
V
27

x = ρ cosθ cosϕ |
|
|
|
− ρ cosθ sin ϕ |
|
cosθ cosϕ |
− ρ sinθ cosϕ |
||||||||||||||||
y = ρ cosθ sin ϕ |
|
D( x, y, z) |
= ρ cosθ cosϕ |
|
cosθ sin ϕ |
− ρ sinθ sin ϕ = |
|||||||||||||||||
, |
D(ϕ, ρ,θ ) |
|
|||||||||||||||||||||
|
z = ρ sinθ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
sinθ |
|
|
|
ρ cosθ |
|
||||||||
=-sinθ (ρ2sinθ cosθ sin2ϕ+ρ2sinθ cosθ cos2ϕ)-ρcosθ(ρ cos2θ sin2ϕ+ρ cos2θ cos2ϕ) = |
|||||||||||||||||||||||
=-sinθ ρ2sinθ cosθ -ρcosθ ρ cos2θ =-ρ2cos θ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
π / 2 |
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
= 1 |
|
|
2 |
ϕ |
2 |
|
|
4 |
θ |
2 |
1 . |
||||||
|
|
ρ 5dρ |
|
cosϕ sin ϕdϕ |
|
cos3 θ sin θdθ |
|
|
|||||||||||||||
A= |
∫ |
∫ |
∫ |
sin |
|
|
|
− cos |
|
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
48 |
|||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
1− x |
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. В интеграле ∫dx ∫dy ∫ f ( x, y, z)dz |
расставить пределы интегрирования в порядке |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdzdy и dzdxdy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
x + y |
|
|
|
|||
Пример 4. Заменить тройной интегрлал однократным ∫dx∫dy ∫ f ( z)dz |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
28

1 |
1 |
x + y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
∫dx∫dy ∫ f ( z)dz |
= ∫ f ( z)dz ∫∫dxdy + ∫ f ( z)dz ∫∫dxdy = ∫ f ( z) Dz dz + ∫ f ( z) Dz dz = |
|||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
Dz |
|
|
1 |
|
Dz |
0 |
1 |
||
1 |
|
|
z |
2 |
|
2 |
1 |
( |
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
+ ∫ f ( z) |
− z |
dz |
|
|
|
|
|
|
|||||
f ( z) 1 − |
2 |
dz |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Замена переменных в общем случае |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Рассмотрим регулярное отображение |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = x1 (u1 ,u2 ,...,un ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= x (u ,u |
|
,...,u |
n |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 1 |
2 |
|
|
( кратко x=x(u) ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= xn (u1 ,u2 ,...,un ) |
|
|
из области Σ в область V. При измеримости областей Σ , V справедлива формула замены переменных
|
∂x |
|
|
|||
∫ f ( x)dx = ∫ f [ x(u)] |
|
|
du , |
|||
∂u |
||||||
V |
Σ |
|
|
|||
|
|
|
|
существование интегралов предполагается.
Глава 3. Криволинейные интегралы
§1. Криволинейные интегралы 1-го рода
1.Определение, существование
Рассмотрим спрямляемую кривую γ и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой
29

«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {Tk}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой T={Tk} . На каждой дуге Tk Tk+1 задана промежуточная точка Ξk=(ξk , ηk , ζk ), Ξ={ Ξk }, обозначим длину дуги Tk Tk+1 через lk , длину хорды, стягивающей дугу Tk Tk+1 обозначим lk . Характеристикой разбиения T назовем величину λ(T) = max lk . Составим интегральные суммы следующего вида
n−1 |
|
σ(f,T,Ξ)= ∑ f (Ξk ) lk |
(1). |
k =0
Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения λ(T), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается
∫ f ( x, y, z)ds = lim σ ( f ,T , Ξ) . |
|
γ |
λ (T ) →0 |
|
Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла
J ε>0 δ>0:(λ(T)<δ, Ξ T) |σ(f,T, Ξ) - J|<ε.
Можно использовать эквивалентное определение, беря в качестве интегральных сумм суммы вида
n−1
∑ f (Tk )lk , где вместо длины хорды lk берется длина дуги lk . Доказательство эквивалентности этих
k =0
определений для гладкой кривой будет дано позже.
Замечание 1. Если кривая γ плоская, (например, лежит в плоскости Oxy), и f=f(x,y), то интеграл обозначается ∫ f ( x, y)ds .
γ
Замечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системы координат. Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат.
Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрически
x = x(t)
y = y(t) , t [α, β] (2) z = z(t)
Теорема 1. Если кривая (2) гладкая (непрерывно дифференцируема без особых точек
(x′ 2+y′ 2+z′ 2≠0)), функция f(x,y,z) непрерывна на (2), тогда криволинейный интеграл
∫ f ( x, y, z)ds существует и имеет место равенство
γ
30