26. Свойства дисперсии дискретной случайной величины (вывод).Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равно нулю: . 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: . 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: . Следствие. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин. 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: .Теорема. Дисперсия числа появлений события   в   независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность   появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность   появления и вероятность   непоявления этого события в одном испытании: .

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: . Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью самой случайной величины.

27.Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

28. Дисперсия биномиального распределения.

Дисперсия = N*P*(1-P)Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности p_i вычисляют поформуле Бернулли Для биномиального распределения: математическое ожидание M(X) = np, дисперсия D(X) = npq, мода np-q ≤ Mo ≤ np+p, коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq, коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq

29 Функцией распределения называют функцию  , определяющую вероятность того, что случайная величина   в результате испытания примет значение, меньшее  , т.е. Геометрически это равенство можно истолковать так:   есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки  .Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку  : Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.Свойство 2.   —неубывающая функция, т.е. , если  Доказательство. Пусть  . Событие, состоящее в том, что   примет значение, меньшее  , можно подразделить на следующие два несовместных события: 1)   примет значение, меньшее  , с вероятностью  ; 2)   примет значение, удовлетворяющее неравенству  , с вероятностью  .По теореме сложения имеем Отсюда График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис. 2. Замечание. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

30. Определение плотности распределения Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).Плотностьюраспределения вероятностей непрерывной случайной величины   называют функцию   — первую производную от функции распределения  : Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

31.Математическое ожидание (вывод) и дисперсия непрерывной случайной величины.Математическим ожиданием непрерывной случайной величины  , возможные значения которой принадлежат отрезку  , называют определенный интеграл .Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то (предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства, существует). Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные непрерывной случайной величины   принадлежат отрезку  , то Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то (предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства, существует).Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называют, как и для величины дискретной, квадратный корень из дисперсии: .