6.Недостатки классического определения вероятности события. Статистическое и геометрическое определение вероятности события.

Недостаток в том,что оно применимо только к пространствам элементарных исходов, состоящихиз конечного числа равновозможных исходов. Р(А)≈W(A)-стат опред вер-ти соб-я, W(A)=M/N-относит частота соб-я А.

Р(А)=l/L=v/V=s/S-геом опред-е вер-ти.

!7. Связь и различие между классическим и статистическим определениями вероятности события.

W(A)=M/N-пусть соб-е А наступит М раз в И испытаниях. . При увеличении числа опытов N частость приближается к , поэтому на практике считают Р(А)≈W(A)= M/N

8.Произведение событий. Вероятность произведения событий (вывод).. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. 

.9/Сумма событий. Вероятность суммы (вывод). Событие С называется суммой событий  А и В ( С = А   В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит либо  А , либо  В.

10.Вероятность противоположного события (вывод).

А+А=U-достоверное событие

Р(А+А)=Р(U)

Р(А)+Р(А) =Р(U)=1

Р(А)≡р, Р(А) ≡q

P+q=1, q=1-p-вер-ть

против-го события

11. Вероятность появления хотя бы одного события (вывод).

Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Если в результате испытания может появиться событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

Здесь событие обозначает наступление хотя бы одного из событий , а – вероятность противоположных событий .

12. Полная вероятность – постановка задачи и вывод формулы.

Рассм. события Н₁,Н₂,…,Н_n, к-ые образуют полную группу попарно-несовм-ых событий.Событие А может наступить одновр-но с одним из Н_i. Поскольку не известно, какое из Н_i произойдёт, Н_i наз-ют гипотезами.Событие можно представить в виде А= Н₁А+Н₂А+…+Н_nА-несовметсные. Р(А)=Р(Н₁А)+Р(Н₂А)+…+Р(Н_nА)=Р(Н₁)*Р_Н1(А)+Р (Н₂) *Р_Н2(А)+…+Р(Н_n)*Р_Нn(А)

Р(А)=∑Р(Н_i)*P_Hi(A)-формула полной вер-ти.

Пр. Имеется 3 урны с шарами. В 1 урне-5б и 5ч, 2-5б, 3-5ч. Наудачу берут одну урну и из урны достают 1 шар. Какова вер-ть того, что этот шар белый. Реш: введём 3 гипотезы: Н₁-наудачу взяли 1 урну, Н₂-наудачу взяли 2 урну, Н₃-наудачу взяли 3 урну. А-вынутый шар белый.

А= Н₁А+Н₂А+Н₃А, Р(А)=Р(Н₁А)+Р(Н₂А)+Р(Н₃А), Р(А)= Р(Н₁)*Р_Н1(А)+Р (Н₂) *Р_Н2(А)+Р(Н₃)*Р_Н3(А)…

13.Переоценка вероятности гипотез – формулы Байеса (вывод).-позволяют провести переоценку вер-ей гипотез, при условии, что событие А уже произошло Р_А(Н_i)=(Р(Н_i)_*Р_Hi(A) )/P(A)= (Р(Н_i)_*Р_Hi(A) )/ Р(Н₁)*Р_Н1(А)+…+P_A(H_n)*P(A). Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

14.Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (вывод)

n-число проведённых нез-ых исп-ий

p-вер-ть наст-я соб-я А в каждом испытании

q-вер-ть ненаступления

k-число наступлений соб-ий А.

15.Приближенные формулы Муавра-Лапласа (локальная и интегральная). Свойства и графики функций Гаусса и Лапласа.

, где , ,

-ф-ия Гауса

Св-ва: 1.чет ф-я фи(х) фи(-х)=фи(х),2. Фи_max≈0,3989, 3. При х>4 фи(х)≈0, фи(х)-протабулировано.

Св-ва Ф(х) (Лапласса): 1. Ф(-х)=-Ф(х)-нечет ф-я, 2.при х>5 Ф(х)≈0,5, 3. Ф(0)=0.

16.Формула Пуассона для многочисленных, но редких испытаний.

, .- при многочисл но редких событиях.

Если вероятность   наступления события   в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний   достаточно велико, то вероятность наступления события   ровно   раз приближенно равна

17.Простейший пуассоновский поток событий (ПППС), его свойства. Формула Пуассона для ПППС.

 – среднее число событий в единицу времени, Р_t(k)-вер-ть того, что за т единицу времени произойдёт к событий потока.

18.Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях (вывод). Уметь решать задачи на нахождение , п, т.

Обозначим через   число появлений события   в   независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления этого события постоянна и равна  (соответственно вероятность непоявления также постоянна и равна  ). Тогда, если   изменяется   от до  , то дробь   изменяется от   до  . Вывод: вероятность того, что отклонение относительной частоты   от постоянной вероятности   не превысит заданного числа  , приближенно равна удвоенной функции Лапласа с аргументом  .