12.1.4. Метод кусочно-линейной аппроксимации

Этот метод заключается в преобразовании нелинейной задачи в несколько линейных путем замены характеристики нелинейного элемента для мгновенных значений отрезками прямых линий. Его целесообразно применять в случае, когда отрезки прямых совпадают с осями координат (прямоугольная петля гистерезиса, характеристика ионного диода и др.).

Алгоритм метода. 1) Составляют нелинейное дифференциальное уравнение схемы. 2) Нелинейную характеристику для мгновенных значений в рабочем диапазоне заменяют отрезками прямых. 3) Уравнения прямых подставляют в нелинейное дифференциальное уравнение. Число образованных таким образом линейных уравнений равно числу отрезков прямых, заменяющих нелинейную характеристику. 4) При решении системы линейных уравнений постоянные интегрирования определяют путем приравнивая решений для конца одного линейного отрезка к решению для начала следующего (припасовывание).

Пример. Рассмотреть применение метода кусочно-линейной аппроксимации для определения закона изменения во времени потокосцепения катушки ферромагнитным сердечником из магнитно-мягкого материала (рис. 12.3, а)

Рис. 12.3. Схема последовательного соединения активного сопротивления с нелинейной индуктивностью (а) и аппроксимированная в.а.х. нелинейной индуктивности

Прямоугольную гистерезисную характеристику перестроить в вебер-амперную и заменить линейным участком (рис. 12.3, б).

Решение. Дифференциальное уравнение цепи имеет вид

U_msint=iR+d/dt.

Решение задачи сведено в табл. 12.1.

Таблица 12.1.

Участок кривой рис. 12.3, б	Линейное уравнение и его решение	Определение постоянной интегрирования	Решение
вертикальный участок 1-2 =-maxmax; i=0; t=0t1	Umsint=d/dt;	A=-max+Um/, где =max при t=0
горизонтальный участок 2-3 t=t1; =max d/dt=0	Umsint=Ri;		=max

Найдем t₁ при =_max по уравнению

,

откуда

.

Зависимость =f(t) показана на рис. 12.4.

Р ис. 12.4. Решение цепи методом кусочно-линейной аппроксимации

12.1.5. Метод аналитической аппроксимации

Метод аналитической аппроксимации основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента для мгновенных значений в рабочем диапазоне аналитическим выражением. В это выражение подставляют известную функцию времени и проводят необходимые преобразования.

Пример. Нелинейный индуктивный элемент питается от синусоидального источника тока i=I_msint. По заданной кривой намагничивания найти напряжение на элементе.

Решение. Представим нелинейную характеристику (i) для мгновенных значений уравнением =ai-bi³. В выбранную аналитическую зависимость подставим i(t):

(t)=aI_msint- bI_m³sin³t.

Учитывая, что , и проводя алгебраические преобразования, получим .

Напряжение u=d/dt=_1mcost+3_3mcos3t. Таким образом, при гармоническом источнике тока напряжение на нелинейной катушке не синусоидально.