12.1.2. Метод гармонического баланса

Метод гармонического баланса предполагает, что решение нелинейного дифференциального уравнения содержит только первую, первую и одну или несколько высших гармоник. При этом неизвестными являются амплитуды гармоник (если фаза ЭДС источника равна нулю); амплитуды и начальная фаза источника; амплитуды и фазы гармоник и начальная фаза источника.

Трудность метода состоит в решении алгебраических уравнений высших степеней или трансцендентных уравнений.

Алгоритм метода. 1). Характеристику нелинейного элемента для мгновенных значений аппроксимируют соответствующим аналитическим выражением. 2). В аналитическое выражение характеристики, связывающей входные и выходные параметры нелинейного элемента, подставляют предполагаемое решение только для первой гармоники (первой и высшей гармоники) 3). Для исследуемой схемы составляют дифференциальное уравнение, в которое вводят функцию, определяющую нелинейный элемент (рис. 12.2.) и предполагаемое решение.

Рис. 12.2. Схема с последовательным соединением емкости и нелинейной индуктивности

Полученное уравнение преобразовывают так, чтобы выделить синусные и косинусные составляющие. 4) Последовательно приравнивают коэффициенты при синусной и коси­нусной составляющих первой и высших (если они есть) гармоник. Получают два уравнения для определения неизвестных.

Пример. Определить изменение потокосцепления (i) в нелинейном элементе схемы рис.12.2. методом гармонического баланса при u=U_msint.

Решение. Приближенно представим вебер-амперную характеристику нелинейной индуктивности зависимостью i=a³. Ищем решение для потокосцепления в виде

.

Тогда .

Составим дифференциальное уравнение схемы:

.

В полученное уравнение подставим выражение для u, , i:

. (12.2)

В уравнение (12.2) вместо ³ вводим выражение

.

В результате тригонометрических преобразований все члены уравнения (12.2) представим в виде синусных A_ksinkt и косинусных B_kcoskt составляющих.

Приравниваем коэффициенты при cost:

; (12.3)

при sint:

; (12.4)

при cos3t:

; (12.5)

при sin3t:

. (12.6)

Решаем уравнения (12.3)-(12.6) относительно _1m, _3m, ₁, ₃.

12.1.3. Метод медленно меняющихся амплитуд

Методом медленно меняющихся амплитуд (метод малого параметра) могут быть приближенно решены нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка, в которых нелинейные коэффициенты малы (малый параметр нелинейности) по сравнению с другими коэффициентами уравнения. Это означает, что в такой цепи установившиеся колебания близки к гармоническим.

Данный метод состоит в решении не исходного дифференциального уравнения, а в решении более простых нелинейных уравнений, так называемых укороченных уравнений, не содержащих временных составляющих. Его применяют для приближенного анализа установившегося и переходного режимов автономных и неавтономных систем.

Найдем решение уравнения

d²x/dt²+₀x=f(x, dx/dt, t) (12.7)

где  - безразмерный положительный коэффициент, определяющий нелинейность (малый параметр). При 0 зададимся решением в виде

x=a(t)sint+b(t)cost, (12.8)

где a(t) и b(t) - медленно меняющиеся функции времени искомого колебания по сравнению с частотой источника .

Решение (12.8) подставляют в уравнения (12.7). В левой и правой частях полученного уравнения приравнивают коэффициенты при синусах и косинусах.

Учитывая, что амплитуды во времени изменяются относительно медленно, можно пренебречь первыми da(t)/dt, db(t)/dt и вторыми d²a(t)/dt², d²b(t)/dt² производными по сравнению с другими коэффициентами при синусах и косинусах. В результате получим

dx/dt=acost-bsint;

.

Производные dx/dt и d²x/dt² подставляют в исходное уравнение (12.7). Правую часть полученного выражения раскладывают в ряд Фурье. после чего сравнивают коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях. В результате образуются два уравнения:

;

.

Из этих уравнений определяют амплитуды a(t) и b(t).