211

Л 13 Анализ периодических процессов в нелинейных цепях

Анализ нелинейных схем переменного тока состоит в определении зависимости тока (напряжения) от времени при заданных источниках, па­раметров и характеристиках линейных и нелинейных элементов.

В общем случае токи (напряжения) нелинейных схем при гармони­ческих источниках могут содержать высшие гармоники и субгармоники. Искомую несинусоидальную периодическую реакцию схемы можно пред­ставить рядом Фурье, в котором неизвестны амплитуды, частоты и фазы гармоник. Структура ряда Фурье зависит от нелинейных характеристик элементов.

К нелинейным схемам не применим принцип наложения, поэтому исследование периодических процессов для них в общем случае невоз­можно.

Существует приближенные аналитические и графические методы анализа. Их применим к следующим нелинейным схемам: 1) с одним гар­моническим источником питания; 2) описываемым нелинейными диффе­ренциальными уравнениями второго и выше порядка; 3) имеющим слабо выраженную нелинейность цепи, которая может быть учтена малым пара­метром.

При аналитическом решении выбор переменных и аппроксимирую­щей функции влияет на форму системы уравнений, которые для нелиней­ных схем не имеют общего вида, а следовательно, и общего решения.

Аналитические методы позволяют анализировать в общем виде влияние параметров на процесс. Такие методы являются приближенными, так как требуют аналитического представления нелинейной характеристики

12.1. Аналитические методы анализа периодических процессов в нелинейных цепях

12.1.1. Метод гармонической линеаризации (частотный метод)

Исходную нелинейную схему, в выходном сигнале которой содер­жится высшие гармоники, заменяют эквивалентной линейной схемой с синусоидальной выходной реакцией. Амплитуда и фаза искомой синусои­дальной функции зависят от амплитуды входного сигнала, а частота сов­падает с частотой входного синусоидального сигнала.

Для получения линейной схемы каждый нелинейный элемент пред­ставляет линейным на основании найденной описывающей функции. Не­линейную характеристику элемента аппроксимируют уравнением, связы­вающим входной и выходной сигналы на нелинейном элементе. После подстановки в аппроксимирующее уравнение входного гармонического сигнала в уравнении отбрасывают слагаемые с высшими гармониками. В результате получают описывающую функцию нелинейного элемента, вид которой зависит от аппроксимирующей характеристики нелинейного эле­мента. после этого описываемую функцию представляют в комплексной форме. Расчет эквивалентной схемы проводят комплексным методом.

Для определения описывающей функции эквивалентной системы, нелинейную характеристику нелинейного элемента аппроксимируют аналитическим выражением, связывающим входной f₁ и выходной f₂ сигналы: f₂=F(f₁).

Выражение входного гармонического сигнала f₁=A_msin(t+) под­ставляют в аналитическое уравнение характеристики f₂(t)=F[A_msin(t+)].

В общем случае выходной сигнал содержит первую и высшую гар­моники, амплитуды которых зависят от амплитуды входного сигнала.

В выражении для f₂(t) отбрасывают высшие гармоники и рассматри­вают эквивалентную схему гармонической линеаризации нелинейного элемента.

Комплексную амплитуду выходной реакции находят по формуле , либо через изображение по Лапласу f₂(t)=F( ). (Временная функция, соответствующая изображению по Лапласу, совпадает с заданной f₂(t) в интервале 0<t<T; f₂=0 при t>Т=2/).

Таким образом, передаточная функция .

Пример. Найти эквивалентное комплексное сопротивление нелинейной индуктивности .

Решение. Вебер-амперная характеристика при небольшом насыщении может быть представлена в виде (i)=L(i-ki³). Подставим в это выражение искомый ток i=I_mcost:

 (i)=L(I_mcost-kI_m³cos³t).

Напряжение на индуктивном элементе

.

В полученном выражении учтем только первую гармонику (гармо­ническая линеаризация):

.

Комплексную амплитуду определим из выражения u(t):

Эквивалентное комплексное сопротивление индуктивного элемента

.

Алгоритм метода. 1) Характеристику нелинейного элемента аппроксимируют соответствующим выражением. 2) Находят выражения для комплексных параметров всех нелинейных элементов, включенных в ис­ходную схему, и составляют эквивалентную комплексную схему. 3). В соответствии с комплексной схемой определяют комплексную амплитуду выходного сигнала.

Пример. Методом гармонической линеаризации найти входной ток нелинейного последовательного колебательного контура с нелинейным индуктивным элементом.

Решение. Пусть контур имеет малые потери и на его входе действует синусоидальные напряжение.

Заменим нелинейный индуктивный элемент эквивалентным комплексным сопротивлением: .

Представим схему контура в виде комплексной схемы замещения (рис. 12.1.).

Рис. 12.1. Комплексная схема замещения цепи с нелинейной индуктивностью

Для этой схемы запишем комплексное уравнение гармонической линеаризации:

,

откуда комплексное сопротивление контура

. (12.1)

Перейдем к нормированному сопротивлению _=о, - резонансная частота

При малых токах, т.е. на линейном участке, из выражения (12.1) для комплексного сопротивления имеем

,

где Q=₀L/R- добротность контура.

Найдем зависимость модуля первой гармоники от частоты:

.

При малых токах kI² можно пренебречь. В результате получим резонансную кривую линейного контура.