7.13.9. Первый и второй законы Кирхгофа в операторной форме

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла а схемы рис.7.17.

i₁-i+i₂=0. (7.42)

Применим преобразование Лапласа к уравнению (7.42) и воспользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений:

I₁(p)- I(p)+ I₂(p)=0.

В общем случае

 I(p)=0. (7.43)

Уравнение (7.43) выражает собой первый закон Кирхгофа в операторной форме.

Для любого замкнутого контура любой электрической цепи можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений. Предварительно необходимо выбрать положительные направления для токов в ветвях и направление обходов контура. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура рис. 7.18.

Рис.7.18. Иллюстрация ко второму закону Кирхгофа

Контур обходим по часовой стрелке. Учтем, что индуктивности L₁ и L₂ связаны магнитно. При выбранных положительных направлениях для токов i₁ и i₂ между L₁ и L₂ имеет место согласное включение.

Падение напряжения на L₁ равно L_{1 ,} на L₂ составляет L₂ . При составлении уравнения учтем, что начальное напряжение на конденсаторе равно u_С(0). Пусть оно действует согласно с током i₃. Начальное значение тока i₁=i₁(0), тока i₂=i₂(0). Имеем

.(7.44)

Каждое из слагаемых (7.44) заменим операторным изображением:

(7.45)

Подставив (7.45) в (7.44), объединим слагаемые с I₁(p), I₂(p), I₃(р), перенесем в правую часть u_C/p, L₁i₁(0) и другие внутренние Э.Д.С. В резуль­тате получим

I₁(p)Z₁(p)+ I₂(p)Z₂(p)+ I₃(p)Z₃(p) = E₁(p)+ E₃(p)+ E_ВН(p), (7.46)

где Z₁(p)=p(L₁-M), Z₂(p)=p(M –L₂)- R₂, ,

E_BH(p)=(L₁-M)i₁(0)+(M-L₂)i₂(0)-u_C(0)/p.

В более общем виде уравнение (7.46) можно записать так:

I_k(p)Z_k(p)=E_k(p). (7.47)

Уравнение (7.47) представляет собой математическую запись вто­рого закона Кирхгофа в операторной форме. В состав E_k(p) в общем случае входят и внутренние Э.Д.С.

7.13.10. Разложение сложной дроби на простые

Из курса математики известно, что дробь

при условии, что n<m и полином М(х)=0 не имеет кратных корней с N(x), может быть представлена в виде суммы простых дробей:

,

или

, (7.48)

где x_k - корни уравнения М(х)=0.

Для определения коэффициента A₁ умножим обе части уравнения (7.48) на (x-x₁). В результате получим

. (7.49)

Рассмотрим выражение (7.49) при xx₁. Правая часть уравнения равна A₁, левая представляет собой неопределенность, так как множитель (x-x₁) при xx₁ равен нулю и знаменатель М(х) при x=x₁ также равен нулю [x₁ есть корень уравнения М(х)=0].

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью производную от числителя разделим на производную от знаменателя и найдем предел дроби:

,

где М`(x)- производная от М(х) по х, М`(x₁)-значение М`(x) при х=х₁, N(x₁)-

значение N(x) при х=х₁.

Следовательно, из (7.49) при хх₁ получаем уравнение

, (7.50)

или

. (7.51)

Аналогично,

. (7.52)

Таким образом,

, (7.53)

или

. (7.54)

7.13.11. Формула разложения.

Переход от изображения N(p)/M(p) к функции времени часто произ­водят с помощью формулы

, (7.55)

которую называют формулой разложения.

Левая часть формулы является функцией р, правая часть - соответ­ствующей ей функцией времени t.

Вывод формулы можно осуществить следующим образом. Пусть изображение какой-либо функции времени, например тока, I(p)=N(p)/M(p).

Для получения тока как функции времени i(t) представим сначала N(p)/M(p) в виде суммы простых дробей - разложим N(p)/M(p). С этой це­лью в формуле (7.54) заменим х на р:

. (7.56)

Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой части яв­ляется i(t). Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее слагаемых.

Учтем, что множители N(p_k)/M'(p_k) у слагаемых суммы правой части (7.56) есть постоянные числа (не функция р!). Кроме того, функциями р в правой части являются только множители 1/(p-p_k), им соответствуют функции времени вида .

Поэтому

. (7.57)

Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функции t) с по­мощью формулы разложения (7.57) основан на том, что изображение представлено в виде суммы простых дробей , а оригиналами их являются показательные функции .

Число слагаемых равно числу корней уравнения М(р)=0.

Коэффициенты N(p_k)/M'(p_k) можно сопоставить с постоянными интегри­рования дифференциального уравнения (уравнений) цепи в классическом методе расчета.

Если среди корней уравнения М(р) = 0 есть нулевой корень (р=0), то ему в правой части уравнения (7.57) соответствует слагаемое .Слагаемое представляет собой составляющую искомого тока (напряжения), обусловленную постоянными вынуждающи­ми силами. Если постоянных вынуждающих сил в схеме нет, то N(0)/M'(0)=0.