7.13.5. Изображение напряжения на индуктивном элементе

Изображение тока i равно I(р). Запишем изображение напряжения на индуктивности:

По формуле (7.34), di/dtpI(p)-i(0), где i(0) - значение тока при t=0. Следовательно,

. (7.35)

Если i(0)=0, то .

7.13.6. Изображение интеграла

Требуется найти изображение функции , если известно, что изображение функции f(t) равно F(р).

Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

.

Примем и возьмем интеграл по частям:

.

Первое слагаемое правой части при подстановке верхнего и нижнего пределов обращается в нуль. При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию f(t): функция f(t) если и растет с увеличением t, то все же медленнее, чем растет функция е^ap, где а -действительная часть р. При подстановке нижнего предела нуль получим за счет обращения в нуль . Следовательно, если f(t)F(p), то

. (7.36)

7.13.7. Изображение напряжения на конденсаторе

Напряжение на конденсаторе u_С часто записывают в виде , где не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись:

,

где учтено, что к моменту времени t напряжения на конденсаторе определяется не только током, протекающим через него в интервале времени от 0 до t, но и тем напряжением u_С(0), которое на нем было при t=0. В соответствии с формулой (7.36) изображение равно I(р)/Ср, а изображение постоянной u_C(0) есть постоянная, деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе записывают следующим образом:

. (7.37)

7.13.8. Закон Ома в операторной форме. Внутренние э.Д.С.

На рис.7.16 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи.

Рис. 7.16. Иллюстрация к закону Ома в операторной форме

Между узлами а и b этой цепи включена ветвь, содержащая R, L, С и источник Э.Д.С. e(t). Ток по ветви обозначим через i.

Замыкания ключа в схеме приводит к переходному процессу. До коммутации ток i=i(0_-) и напряжение на конденсаторе u_C=u_C(0_-). Выразим потенциал точки а через потенциал точки b для послекоммутационного режима:

_a=_b +u_C+u_L+u_R-e(t),

u_ab=_a-_b= u_R +u_L+ u_C -e(t).

Вместо u_L запишем , вместо u_С пишем u_С(0)+ . Тогда

. (7.38)

К уравнению (7.38) применим преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений,

Каждое слагаемое уравнения (7.38) заменим операторным изображением: вместо iR запишем RI(p), вместо u_ab – U_ab(p), ,

.

В результате найдем

. (7.39)

Смысл проведенного преобразования состоит в том, что вместо дифференциального уравнения (7.38) получили алгебраическое уравнение (7.39), связывающие изображение тока I(р) с изображением Э.Д.С. Е(р) и изображением напряжения U_ab(p), Из уравнения (7.39) следует, что

, (7.40)

где - операторное сопротивление участка цепи между точками а и b. Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если j заменить на р.

Уравнение (7.40) может быть названо законом Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего Э.Д.С.. Оно записано при ненулевых начальных условиях.

Слагаемое Li(0) представляет собой внутреннюю Э.Д.С., обусловленную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока i(0) непосредственно до коммутации. Слагаемое u_C(0)/p представляет собой внутреннюю Э.Д.С., обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нем u_C(0) непосредственно до коммутации.

В соответствии с формулой (7.40) на рис.7.17 изображена операторная схема замещения участка цепи рис.7.17. Операторные сопротивления ее R, pL, 1/(Ср). Как следует из формулы (7.40), внутренняя Э.Д.С. Li(0) направлена согласно с направлением тока I(р), внутренняя Э.Д.С. U_C(0)/p - встречно току I(р).

Рис. 7.17. Операторная схема замещения

В частном случае, когда на участке ab отсутствует Э.Д.С. e(t) и к моменту коммутации i(0)=0 и u_C(0)=0, уравнение (7.40) приобретает более простой вид:

I(p)=U_ab(p)/Z(p). (7.41)

Уравнение (7.41) есть математическая запись закона Ома в операторной форме для участка цепи, не содержащего источник Э.Д.С. при нулевых начальных условиях.