144

Л 9 Операторный метод расчета переходных процессов

Операторный метод основан на использовании понятия об изображении функции времени. В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наоборот -функции переменной р отвечает определенная функция времени.

Переход от функции времени к функции р осуществляют с помощью преобразования (прямого) Лапласа.

Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании Лапласа.

Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования - к делению. Это облегчает интегрирование дифференциальных уравнений.

7.13.1. Преобразование Лапласа

Условимся под р понимать комплексное число

p=a+jb, (7.24)

где а - действительная, a jb - мнимая части комплексного числа (в ряде работ вместо буквы р пишут s).

Функцию времени (ток, напряжение, Э.Д.С., заряд) обозначают f(t) и называют оригиналом. Ей соответствует функция F(p), называемая изображением, которая определяется следующим образом:

. (7.25)

Соответствие между функциями F(p) и f(t) записывают так:

F(p)  f(t). (7.26)

Знак  называют знаком соответствия.

Верхний предел интеграла (7.25) равен бесконечности. Интегралы с бесконечными верхним пределом называют несобственными. Если в результате интегрирования и подстановки пределов получают конечное число (не бесконечность), то говорят, что интеграл сходится.

В курсе математике доказывается, что интеграл (7.25), в состав которого входит функция е^-pt= е^-atе^-jbt, сходится только в том случае, когда модуль функции f(t), если и увеличивается с ростом t, то все же медленнее, чем модуль функции е^pt, равный е^at.

Практически все функции f(t), с которыми имеют дело в курсе ТОЭ, этому условию удовлетворяют.

Составим изображение некоторых простейших функций.

7.13.2 Изображение постоянной

Требуется найти изображение функции f(t)=A, где А - постоянная величина. С этой целью в (7.25) вместо f(t) подставим А и проведем интегрирование:

.

Следовательно, изображение постоянной равно постоянной, деленной на p:

АА/р. (7.27)

7.13.3. Изображение показательной функции et

Вместо f(t) в (7.25) подставим е^t:

Таким образом,

. (7.28)

При выводе формулы (7.28) (при подстановке пределов) было учтено, что действительная часть оператора р больше, чем , т.е. а>. Только при этом условии: интеграл сходится.

Из формулы (7.28) вытекает ряд важных следствий. Положив в ней =j, получим:

. (7.29)

Формула (7.29) дает возможность найти изображение комплекса синусоидального тока:

.

С этой целью обе части (7.29) умножим на постоянное число I_m;

. (7.30)

Аналогично, изображение комплекса синусоидального напряжения:

. (7.31)

Функция е^-t соответствует изображение 1/(р+):

е^-t1/(р+). (7.32)

7.13.4. Изображение первой производноЙ

Известно, что функции f(t) соответствует изображение F(p). Требуется найти изображение первой производной df(t)/dt, если известно, что значение функции f(t) при t=0 равно f(0).

Подвергнем функцию df(t)/dt преобразованию Лапласа:

.

Интегрирование произведем по частям .Обозначив e^-pt=u

и d[f(t)]=dv, получим:

.

При этом

,

а

.

Таким образом,

, (7.33)

или

. (7.34)