6.3. Формулы для определения комплексов напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии

Как и раньше, через х будем обозначать расстояние от начала линии до текущей точки на ней. Пусть в начале линии при х=0 напряжение U₁ и ток I₁ (рис.6.3)

Рис.6.3. Линия длиной l

Составим уравнения для определения постоянных А₁ и А₂ через U₁ и I₁. Из (6.13) и (6.18) следует (х=0).

U₁=A₁+A₂, (6.19)

I₁Z_B=A₁-A₂. (6.20)

Для определения А₁ из (6.19) вычтем (6.20):

A₁=0.5(U₁-I₁Z_B)=A₁ , (6.21)

A₂=0.5(U₁+I₁Z_B)=A₂ , (6.21)

Где А₁ – модуль, ₀ – аргумент комплекса А₁, А₂ – модуль, _П – аргумент комплекса А₂.

Подставим (6.21) и (6.22) в (6.13):

.

Введем гиперболические функции. Известно, что

chx=0.5(e^x+e^-x), shx=0.5(e^x-e^-x).

Поэтому

0.5(e^x+e^-x) = chx,

0.5(e^x-e^-x) = shx.

Следовательно,

U=U₁chx – I₁Z_Bshx. (6.23)

Аналогичные преобразования, примененные к (6.18), дают

. (6.24)

Формулы (6.23) и (6.24) позволяют найти комплексы напряжения и тока в точке линии, расположенной на расстоянии х от ее начала. Следует иметь в виду, что аргументом гиперболической функции в этих формулах является комплексное число x=x+jx.

6.4. Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии

Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии у, а длину всей линии (рис.6.3) l, тогда:

у=l-х. (6.25)

Подставим (10.25) в (10.13) и (10.18), тогда

(6.26)

где С₁=А₁е^-l, С₂=А₂е^l,

(6.27)

Напряжение и ток в конце линии при у=0 - U=U₂, I=I₂.

Используя (6.26) и (6.27), получаем

U₂=C₁+C_2,

I₂Z_B=C₂-C₁.

, . (6.28)

Подставляя (6.28) в (6.26) и (6.27) и вводя гиперболические функции, получим

U=U₂chy+I₂Z_Bshy, (6.29)

. (6.30)

Зная U₂ и I₂ с помощью (6.29) и (6.30), можно найти комплексы напряжения и тока в точке, находящейся на расстоянии у от конца линии.

6.5. Падающие и отраженные волны в линии

Подставив в формулу (6.13) A₁e^jо вместо A₁, A₂e^jп вместо А₂, заменив у на +j, получим

. (6.31)

Аналогичную операцию проделаем с формулой (6.18), причем в дополнение заменим Z_B на :

. (6.32)

Для перехода от комплексов напряжения и тока к функциям времени умножим правые части формул (6.31) и (6.32) на и от произведений возьмем мнимую часть:

, (6.33)

. (6.34)

Падающей электромагнитной волной называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника энергии к приемнику, т.е. в нашем случае в направление увеличения координаты х. Электромагнитное состояние определяется совокупностью электрического и магнитного полей, обусловливающих друг друга. Падающая волна. распространяясь от источника к приемнику, несет энергию, заключенную в ее электрическом и магнитном полях.

Отраженной электромагнитной волной называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от приемника к источнику энергии, т.е. в нашем случае в сторону уменьшения координаты х.

Падающая электромагнитная волна образована падающей волной напряжения U_пад [второе слагаемое формулы (6.33)] и падающей волной тока i_пад [второе слагаемое формулы (6.34)]. Отраженная электромагнитная волна образована отраженной волной напряжения U_отр [первое слагаемое формулы (6.33)] и отраженной волной тока i_отр [первое слагаемое формулы (6.34)].

Из этих уравнений следует, что в каждом данном сечении линии, т.е. при некотором фиксированном значении, как напряжение U_пад (U_отр), так и ток i_пад (i_отр) являются гармоническими колебаниями. Амплитуды U_пад, i_пад убывают с удалением от начала к концу линии по закону экспоненты е^x (рис. 6.4).

Рис.6.4. График падающей волны напряжения при t₂ > t₁

Из уравнений (6.33, 6.34) также следует, что в любом сечении линии отношение амплитуды напряжения U_пад (U_отр) к амплитуде тока i_пад (i_отр), а также разность фаз этих колебаний сохраняются неизменными по длине и равны соответственно модулю и аргументу волнового сопротивления.

Знак минус у отраженной волны тока свидетельствует о том, что поток энергии, который несет с собой отраженная электромагнитная волна, движется в обратном направлении по сравнению с потоком энергии, который несет с собой падающая волна.

Каждая компонента отраженной электромагнитной волны затухает по мере продвижения волны от конца линии к началу (множитель е^х). Физически эффект уменьшения амплитуд падающей и отраженной волн по мере их продвижения по линии объясняется наличием потерь в линии.