6.1. Составление дифференциальных уравнений для однородной линии с распределенными параметрами

Составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют токи и напряжения в любом сечении линии.

Пусть известны первичные параметры однородной линии, отнесенные к единице ее длины: R₀ - продольное активное сопротивление единицы длины линии; L₀ - индуктивность единицы длины линии; С₀ - емкость единицы длины линии; G₀ - поперечная проводимость единицы длины линии. Поперечная проводимость G₀ не является обратной величиной продольного сопротивления R₀.

Разобьем линию на участки длиной dx (рис.6.2), где х - расстояние, отсчитываемое от начала линии.

Рис.6.2. Схема элемента линии, длиной dx

На длине dx активное сопротивление равно R₀dx, индуктивность – L₀dx, проводимость утечки – G₀dx и емкость – C₀dx. Обозначим ток в начале рассматриваемого участка линии через i, а напряжение между проводами линии через u. И ток и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии х и времени t. Поэтому в дальнейшем в уравнениях использованы частные производные от u и i по времени t и расстоянию х.

Если для некоторого момента времени t ток в начале рассматриваемого участка равен i, то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце участка для того же момента времени равен dx, где - скорость изменения тока в направлении х. Скорость, умноженная на расстояние dx, является приращением тока на пути dx.

Аналогично, если напряжение в начале участка u, то в конце участка для того же момента времени напряжение равно u+ dx.

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx, обойдя его по часовой стрелке:

.

После упрощения и деления уравнения на dx получим

. (6.1)

По первому закону Кирхгофа,

. (6.2)

Ток di (рис.6.2) равен сумме токов, проходящих через проводимость G₀dx и емкость C₀dx:

.

Пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости. Тогда

. (6.3)

Подставим (6.3) в (6.2), упростим и поделим уравнение на dx:

. (6.4)

Уравнения (6.1) и (6.4) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.

6.2. Решение уравнений линии с распределенными параметрами при установившемся синусоидальном процессе

Пусть напряжение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени. Воспользуемся символическим методом.

Изображение тока

i=I_msin(t+_i)Ie^jt,

где .

Изображения напряжения

u=U_msin(t+_u)Ue^jt,

где .

Комплексы U и I являются функциями расстояния х, но не являются функциями времени. Множитель е^jt есть функция времени t, не зависящая от х.

Представление изображений тока и напряжения в виде произведения двух множителей, из которых один является функцией только х, а другой - функцией только t, дает возможность перейти от уравнений в частных производных к уравнениям в простых производных.

(6.5)

(6.6)

Подставим (6.5) и (6.6) в (6.1) и (6.4), сократив в полученных уравнениях множитель e^jt:

(6.7)

(6.8)

где

Z₀=R₀+jL₀, (6.9)

Y₀=G₀+jC₀. (6.10)

Решим систему уравнений (6.7) и (6.8) относительно U. С этой целью продифференцируем (6.7) по х:

. (6.11)

В (6.11) вместо подставим правую часть уравнения (6.8)

. (6.12)

Уравнение (6.12) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение:

U=A₁e^x+A₂e^-x. (6.13)

Комплексные числа A₁ и А₂ есть постоянные интегрирования, которые в дальнейшем определим через напряжение и ток в начале или через напряжение и ток в конце линий.

Комплексное число

(6.14)

называют постоянной распространения; его можно представить в виде

=+j, (6.15)

где  - коэффициент затухания, характеризующий затухания падающей волны на единицу длины линий, например на 1м (км);  - коэффициент фазы, характеризующий изменение фазы падающей волны на единицу длины линии, например на 1м (км). Следовательно, ток i найдем из уравнения (6.7):

. (6.16)

Отношение , имеющее размерность сопротивления, обозначают Z_В и называют волновым сопротивлением:

, (6.17)

где Z_В- модуль; _В- аргумент волнового сопротивления Z_В.

Следовательно,

. (6.18)