Действия над числами
в произвольной системе счисления
1
Cq = Aq +Bq
Aq = an*qn+an-1*qn-1+…+a1*q1+a0*q0
Bq = bm*qm+bm-1*qm-1+…+b1*q1+b0*q0
Промежуточная сумма: si = ai + bi + pi-1
Результат:
|
|
si, еслиci q |
|
ci |
|
- q, еслиci q |
|
|
si |
||
pi |
|
0, если ci q |
|
|
1, если ci q |
||
|
|
|
|
2
Пример:
52648 + 65318 = 140158
|
+5 |
2 |
6 |
4 |
A8 |
|
6 |
5 |
3 |
1 |
B8 |
|
11 |
7 |
9 |
5 |
S1 |
|
3 |
7 |
1 |
5 |
C1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
P1 |
1 |
3 |
8 |
1 |
5 |
S2 |
1 |
3 |
0 |
1 |
5 |
C2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
P2 |
1 |
4 |
0 |
1 |
58 |
S3=A+B |
3
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Постановка задачи. Представить в q-ой СС смешанное число А, заданное в p-ой СС:
Ap = an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0+a-1*p-1+a-2*p-2+…+a-m*p-m
Bq = br*qr+br-1*qr-1+…+b1*q1+b0*q0+b-1*q-1+b-2*q-2+…+b-s*q-s
Для смешанного числа отдельно проводится перевод целой и дробной частей.
4
Перевод целых чисел:
Способ 1. Для перевода целых чисел из p-ичной СС в q- ичную необходимо исходное p ичное число и получаемые частные последовательно делить на основание q новой СС. Получаемые в результате остатки представляют собой p-ичные записи q-ичных цифр числа, начиная с младшей. Операция деления проводится в p-ичной СС.
5
Обоснование способа 1:
Ap = an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0
Bq = br*qr+br-1*qr-1+…+b1*q1+b0*q0
Aq /q = {А1,S1}, где А1- целая часть результата, S1-остаток. Bq /q = {В1,R1}, где B1- целая часть результата, R1-остаток.
B1= br*qr-1+br-1*qr-2+…+b1*q0
R1 = b0
Т.к. Ap ≡ Bq, то b0 = S1.
6
Способ 2. Цифры и основание исходного представления числа в p-ой СС выражаются q ичными числами и производится вычисление полученного выражения в q-ичной СС.
Ap = an*pn+an-1*pn-1+…+a1*p1+a0*p0 =
= aqn*pqn+aqn-1*pqn-1+…+aq1*pq1+aq0*pq0
Пример. Перевести в 3-ю СС число 524, представленное в 7-й СС.
5247 = 5•72+2 •71+4 •70 =(12 •21 • 21+2 •21 +11)3 = 1002023
При вычислениях учитываем, что 57 = 123 ; 27 =23 ; 47 = 113
7
Способ 3. (модификация способа 2 с вычисление многочлена по схеме Горнера). Цифры и основание исходного представления числа в p-ой СС выражаются q ичными числами. В q ичной СС выполняются следующие операции:
•умножить старшую цифру на p;
•добавить к результату следующую по порядку цифру;
•умножить результат на p;
•повторить операции 2 и 3 до тех пор, пока не будет добавлена младшая цифра; на последнем шаге операция умножения результата на p не проводится.
Такой подход позволяет, в общем случае, сократить при переводе количество операций умножения, которые выполняются гораздо дольше операций сложения.
5247 = 5•72+2 •71+4 •70 =(12 •21 • 21+2 •21+11)3 =
= ((12 •21 +2) •21+11)3 = 1002023
8
Перевод правильных дробей
При переводе правильных дробей из p-ичной СС в q-ичную необходимо в p ичной СС выполнить следующие операции:
•умножить исходное число на q. Целая часть полученного результата является старшей цифрой числа в q-ичной СС;
•умножить дробную часть полученного результата на q. Целая часть полученного результата является очередной цифрой числа в q-ичной СС;
•повторить операцию 2, пока не будет достигнута необходимая точность.
9
Количество разрядов в новом представлении дроби определяется абсолютной погрешностью исходного и нового представления числа:
0,5•q-s ≤ 0,5•p-m
s m ln p lnq
10
4
счисления.
Количество разрядов в новом представлении дроби: n7 ≥ (n4 * ln 4) / ln 7 =2,137...
n7 = 2
Для получения 2-х цифр в окончательном результате необходимо выполнять процесс умножения до получения 3-х цифр нового представления дроби и провести округление:
x0,3024
134 |
; =7 |
|
+2112 |
|
|
3020 |
|
|
11.132 |
|
|
x 0,132 |
|
|
13 |
|
|
+1122 |
|
|
1320 |
|
|
3.102 |
|
|
x0.102 |
|
|
13 |
|
|
+312 |
|
|
1020 |
|
|
0,1332 |
11 |
|
Таким образом, 0,3024 = 0,530…7 ≈ 0,537,
Перевод чисел из p-ичной системы счисления в q-ичную при p = qk
Перевод целых чисел.
При переводе целых чисел из p-ичной СС в q-ичную необходимо каждую цифру исходного p-ичного числа заменить ее k-разрядным q-ичным эквивалентом.
Перевод правильных дробей.
При переводе правильных дробей из p-ичной СС в q-ичную необходимо каждую цифру исходного p-ичного числа заменить ее k-разрядным q-ичным эквивалентом.
Перевод чисел из p-ичной системы счисления в q-ичную при q = p k
Перевод целых чисел.
При переводе целых чисел из p-ичной СС в q-ичную необходимо исходное p ичное число разбить на группы по k разрядов, начиная справа, и каждую группу заменить одной q-ичной цифрой. При необходимости старшая группа дополняется слева нулями до k разрядов.
Перевод правильных дробей.
При переводе правильных дробей из p-ичной СС в q-ичную необходимо исходное p ичное число разбить на группы по k разрядов, начиная слева, и каждую группу заменить одной q-ичной цифрой. При необходимости младшая группа дополняется справа нулями до k разрядов.
12