Вопрос 3

Определение 10. Нечеткой базой знаний (fuzzy knowledge base) о влиянии факторов   на значение параметра y называется совокупность логических высказываний типа:

ЕСЛИ 

ИЛИ   …

ИЛИ  ,

ТО  , для всех  ,

где  - нечеткий терм, которым оценивается переменная   в строчке с номером jp ( );

- количество строчек-конъюнкций, в которых выход y оценивается нечетким термом  ,  ;

- количество термов, используемых для лингвистической оценки выходного параметра y.

С помощью операций   (ИЛИ) и   (И) нечеткую базу знаний из определения 10 перепишем в более компактном виде:

             (1)

Вопрос 4

Определение 11. Нечетким логическим выводом (fuzzy logic inference) называется апроксимация зависимости   с помощью нечеткой базы знаний и операций над нечеткими множествами.

Пусть   - функция принадлежности входа   нечеткому терму  ,  ,  ,  , т. е.  ;   - функция принадлежности выхода y нечеткому терму  ,  , т. е.  . Тогда степень принадлежности конкретного входного вектора   нечетким термам   из базы знаний (1) определяется следующей системой нечетких логических уравнений:

,       (2)

где   - операция максимума (минимума).

Нечеткое множество  , соответствующее входному вектору  , определяется следующим образом:

,              (3)

где  - операция объединения нечетких множеств.

Четкое значение выхода y, соответствующее входному вектору   определяется в результате деффаззификации нечеткого  .

Вопрос 5

Определение 25. 

Нечетким числом называется выпуклое нормальное нечеткое множество с кусочно-непрерывной функцией принадлежности, заданное на множестве действительных чисел. Например, нечеткое число "около 10" можно задать следующей функцией принадлежности:  .

Определение 26. 

Нечеткое число   называется положительным (отрицательным) если  ,   ( ).

Вопрос 6

Определение 27. Принцип обобщения Заде. Если   ‑ функция от n независимых переменных и аргументы   заданы нечеткими числами  , соответственно, то значением функции  называется нечеткое число   с функцией принадлежности:

.

Принцип обобщения позволяет найти функцию принадлежности нечеткого числа, соответствующего значения четкой функции от нечетких аргументов. Компьютерно-ориентированная реализация принципа нечеткого обобщения осуществляется по следующему алгоритму:

Шаг 1.  Зафиксировать значение  .

Шаг 2.  Найти все n-ки  ,  , удовлетворяющие условиям   и  ,  .

Шаг 3.  Степень принадлежности элемента   нечеткому числу   вычислить по формуле:  .

Шаг 4.  Проверить условие "Взяты все элементы y?". Если "да", то перейти к шагу 5. Иначе зафиксировать новое значение   и перейти к шагу 2.

Шаг 5.  Конец.

Приведенный алгоритм основан на представлении нечеткого числа на дискретном универсальном множестве, т.е.  . Обычно исходные данные  ,   задаются кусочно-непрерывными функциями принадлежности:  . Для вычисления значений функции   аргументы  ,   дискретизируют, т.е. представляют в виде  . Число точек   выбирают так, чтобы обеспечить требуемую точность вычислений. На выходе этого алгоритма получается нечеткое множество, также заданное на дискретном универсальном множестве. Результирующую кусочно-непрерывную функцию принадлежности нечеткого числа   получают как верхнюю огибающую точек  .

Пример 4. Нечеткие числа   и   заданы следующими трапециевидными функциями принадлежности:

 и  .

Необходимо найти нечеткое число   с использованием принципа обобщения из определения 27.

Зададим нечеткие аргументы на четырех точках (дискретах): {1, 2, 3 4} для   и {2, 3, 4 8} для  . Тогда:   и  . Процесс выполнения умножения над нечеткими числами сведен в табл. 2. Каждый столбец таблицы соответствует одной итерации алгоритма нечеткого обобщения. Результирующее нечеткое множество задано первой и последней строчками таблицы. В первой строке записаны элементы универсального множества, а в последней строке - степени их принадлежности к значению выражения  . В результате получаем:  . Предположим, что тип функция принадлежности   будет таким же, как и аргументов   и  , т. е. трапециевидной. В этом случае функция принадлежности задается выражением:  . На рис. 7 показаны результаты выполнения операции   с представлением нечетких множителей на 4-х дискретах. Красными звездочками показаны элементы нечеткого множества   из табл. 2, а тонкой красной линией - трапециевидная функция принадлежности.

Исследуем, как измениться результат нечеткого обобщения при увеличении числа дискрет, на которых задаются аргументы. Нечеткое число   при задании аргументов   и   на 30 дискретах приведено на рис. 7. Синими точками показаны элементы нечеткого множества  , найденные по принципу обобщения, а зеленой линией - верхняя огибающая этих точек ‑ функция принадлежности  . Функция принадлежности результата имеет форму криволинейной трапеции, немного выгнутой влево.

Таблица 2 - К примеру 4

	2	3	4		6		8			9		12			16			24		32
	1	1	1	2	2	3	1	2	4		3		3	4		2	4		3		4
	2	3	4	2	3	2	8	4	2		3		4	3		8	4		8		8
	0	0	0	1	1	1	0	1	0		1		1	0		1	0		1		0
	0	1	1	0	1	0	0	1	0		1		1	1		0	1		0		0
	0	0	1	0	1	0	0	1	0		1		1	0		0	0		0		0
	0	0	0		1		1			1		1			0			0		0

 

Рисунок 7 - К примеру 4

Применение принципа обобщения Заде сопряжено с двумя трудностями:

1. большой объем вычислений - количество элементов результирующего нечеткого множества, которые необходио обработать, равно  , где   ‑ количество точек, на которых задан i-й нечеткий аргумент,  ;

2. необходимость построения верхней огибающей элементов результирующего нечеткого множества.

Более практичным является применение  -уровневого принципа обобщения. В этом случае нечеткие числа представляются в виде разложений по  -уровневым множествам:  , где   ‑ минимальное (максимальное) значение  на  -уровне.