6.Сравнение б.М. Ф-й.

α(x) и β(х)-б.м.одного порядка малости в т.х₀,если lim_x→x0 =C≠0=const.

α(x)-б.м.,более высокого порядка малости в т.х₀,чем β(х),если lim_x→x0 =0, α(x)= _x→x0 (1), α(x)/β(х)=0+ _x→x0, α(x)=β(х)• _x→x0(2).Сравнивая 1и2-л.части=→=и пр.части. _x→x0=β(х)• _x→x0. Вывод:если α(x)-б.м. более высокого порядка малости, чем β(х),то α(x) можно представить в виде произведения β(х)на б.м.в т.х₀; другими словами β(х)-можно выносить за знак (о малое)

Если не существует пределы отношения α(x) к β(х) в т.х₀,то ф-и α(x) и β(х)-несравнимы в т.х₀. не lim_x→x0 .Н-р, xsin1/x и х, x→0 не сущ.предела в т.0.Ф-и х и xsin1/x не сравнимы по определению.

Если предел отношения б.м.ф-й α(x) и β(х)=1 в т.х₀, то эти ф-и эквивалентные. lim_x→x0 =1, α(x)~β(х)

7.Эквивалентные б.М. Ф-и. Теоремы об экв-х б.М. Ф-ях.

sinα(x)~α(x) tgα(x)~α(x) arcsin~α(x) arctgα(x)~α(x) e^α(x)-1~α(x) ln(1+α(x))~α(x) a^α(x)-1~α(x)lna log_a(1+α(x))~α(x)/lna -1~α(x)/n (1+α(x))^P-1~pα(x) 1-cosα(x)~α²(x)/2

1-cosα(x)~α²(x)/2: lim_x→0(1-α(x))/(α²(x)/2)=lim(2sin²(α(x)/2)/(α²(x)/2)=1*1=1→экв-е.

e^α(x)-1~α(x): Пусть1/x=t, x→∞ то t→0.lim_x→∞x(e^1/x-1)=lim_t→01/t(e^t-1)=lim1/t*t=lim1=1-экв-е.

Т1Если выполняются условия:1)α(x),α₁(x),β(х),β₁(х)-б.м. x→х0, 2)α(x)~α₁(x), β(х)~β₁(х), 3) lim_x→x0 , то lim_x→x0 =lim_{x→x0 .}Док-во lim_x→x0 =lim_x→x0 =lim_x→x0

T2Если выполняются условия 1)2)3) lim_x→x0 ≠-1, то[α(x)+β(х)]~[α₁(x)+β₁(х)] (*)

Док-во:lim_x→x0[α(x)+β(х)]/[α₁(x)+β₁(х)]=lim_x→x0 [α(x)/β(х)+1]/[α₁(x)/β₁(х)+1]=1→(*) Ч.т.д. Зам-е:Т1 дает возможность заменять экв.б.м. ф-ми только в случае *и/ б.м.В + и – б.м. ф-и заменять экв. Вообще нельзя.Но Т2 дает возможность перейти к экв б.м. в + и – в большинстве случаев,но при этом надо проверять условия Т2.

Т3 α(x) и β(х)-б.м. экв-ные в т.х₀,т.и т.т.,когда их разность α(x)-β(х)-б.м. более высокого порядка малости,чем каждая из них в этой т. lim_x→x0(α(x)-β(х))/α(x)=lim(1-β(х)/α(x))=1-limβ(х)/α(x)=1-1=0. lim_x→x0(α(x)-β(х))/β(х)=0-аналогично.

Т4 α(x) и β(х)-б.м. экв-е в т.х₀,то найдется δ(х₀),что для всех х из ,ф-и α(x) и β(х)-одного знака. α(x)~β(х), x→x0→ δ(х₀): х (α(x),β(х))>0(<0).

Т5 Сумма конечного числа б.м. ф-й разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка. Док-во: α(x)-б.м.более высокого порядка малости,чем β(х). lim_x→x0α(x)/β(х)=0. lim_x→x0(α(x)+β(х))/β(х)=lim_x→x0(α(x)/β(х)+1)=limα(x)/β(х)+1=0+1=1. α(x)+β(х)~β(х) при x→х_0.Слагаемое,эквивалентное сумме б.м.-главная часть суммы. Замена суммы ее главной часть.-отбрасывание б.м.более высокого порядка.

8.Б.б. ф-и и их свойства

f(x) – наз-ся бесконечно большой в т.х₀,если ее предел в т.=∞ lim_x→x0f(x)=∞

(lim_x→x0f(x)=∞)

Какое сколь угодно большое M мы не взяли, всегда найдется окр-ть т.х₀ что как только все х попадают в окр-ть соответствующего значения ф-и,то f(x)>M или f(x)<-M. Б.б. ф-и бывают положительные и отрицательные.

Ф-я f(x) – положительная б.б ф-я в т.х_0, если ее предел в т.=+∞ (lim_x→x0f(x)=∞)

Ф-я отрицательная б.б.,если ее предел в т.=-∞ (lim_x→x0f(x)=∞)

Свойства б.б.ф-й

1)Сумма б.б.ф-й одного знака в т.х₀ – есть б.б.ф-я того же знака в этой т. Зам-е: разность б.б.ф-и одного знака в т.х₀-неопределенность типа (∞,-∞).Эту неопределенность раскрывают сводя к .

2)Если ф-я f(x) б.б.,то произведение б.б.ф-и и C=const≠0 будет равно C*f(x)-б.б. при x→x0.

3)Если f(x) и g(x)-б.б. при x→x0,то их произведение-б.б.ф-я в т.х₀.

4)Если ф-я f(x) б.б.более высокого порядка, чем g(x) в т.х_0­,то f(x) g(x) есть б.б.ф-я того же знака, что и ф-я более высокого порядка.

Зам-е все свойства и определения справедливы и при х→ ∞ Н-р, f(x)=xⁿ более высокого порядка,чем g(x)=x^m.При х→∞ n>m m,nN lim_x→∞ =limx^n-m=limx*x*..(n-m раз)..*x=limx*limx*..(n-m раз)..*limx=∞ Ч.т.д.