Пример экзаменационного билета:

1)Связь бесконечно больших функций с бесконечно малыми функциями.

2} Инвариантность дифференциалов первого порядка,

3)Пример из темы «Исследование функций» или «Интегрирование функций»:

а)Исследовать на экстремумы функцию у =х³(х-1)² ;

б) Вычислить интеграл ∫(2х² – 3)cos 3x dx .

Экзаменационные вопросы по курсу «Математика»

1.Предел ф-и в т. И в бесконечности.

Окрестностью т.х₀ называется любой интервал,содержащий т.х₀.δ–окрестности–интервал (х₀-δ,х₀+δ)=δ(х₀). Проколотой δ–окрестности наз-ся δ окрестность т.х₀ без самой т.х₀–интервал (х₀-δ, х₀)u(х₀,х₀+δ) и обозначается δ(х₀). y=f(x) D(y) х₀

Число А – предел ф-и f(x) в т. х₀,если для любого сколь угодно малого положительного ε найдется сколь угодно малое положительное число δ,что как только все х удовлетворяющие неравенству 0<|x-x₀|<δ, то |f(x)-А|<ε. Записывают это lim_х→хоf(x)=A. (на «языке последовательностей»,по Гейне). (на языке ε-δ, по Коши):

(lim_x→x0 f(x)=A)

Геометрический смысл lim_х→хоf(x)=A, если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки x₀,что для всех х≠х₀ из этой δ-окрестности соответствующие значения функции лежат в ε-окрестности точки А. Точки графика ф-и y=f(x) лежат внутри полосы шириной 2ε,ограниченной прямыми у=А+ε, у=А-ε.Величина δ зависит от выбора ε,поэтому пишут δ=δ(ε).

Число А – предел ф-и f(x) х→∞,если для любого ε>0 существует сколь угодно большое положительное число М=М(ε)>0,что как только все х удовлетворяющие неравенству |x|>М, то |f(x)-А|<ε. Записывают это (lim_x→∞ f(x)=A)

Т О единственности предела ф-и в т.Если ф-я имеет предел в т.,то он единственный.

2.Теоремы о пределах ф-й:

а)необходимое условие существования предела ф-и в точке

Если ф-я f(x) имеет предел в т.х₀, то она ограничена в окрестности этой точки. Док-во

(lim_х→хоf(x)=A)↔( ε>0, δ>0,δ=δ(ε), x:0<|x-x₀|<δ→|f(x)-А|<ε), |f(x)|-|А|≤|f(x)-А|<1, |f(x)|-|А|<1, |f(x)|<1+|А|, 1+|А|=М. М=1+|А|>0, δ>0, x:0<|x-x₀|<δ, |f(x)|<M f(x)-огр х→хо Ч.т.д.

Зам-е: теорема дает лишь необходимое условие существования предела в т,из того,что ф-я огр. в окр-ти т. еще не следует,что она имеет предел в этой т.(Контрпример – y=sin(1/x), х→0)

б)асимптотическое разложение функции, имеющей предел(критерий существования предела ф-и в т.) Для того, чтобы ф-я имела предел в т.х₀ =А необходимо и достаточно,чтобы эту ф-ю можно было представить в виде (const+б.м.): f(x)=A+ _х→хо

Док-во: Необх-ть lim_x→x0f(x)=A f(x)-A=α(x) lim_x→x0α(x)-? limα(x)=lim(f(x)-A)=limf(x)-limA=A-A=0,limα(x)=0→α(x)-б.м.ф-я.,α(x) _x→x0, f(x)-A= , f(x)=A+ _x→x0 Ч.т.д. Дост-ть f(x)=A+ , limf(x)=lim(A+ )=lim, A+lim =A+0=A Ч.т.д. Зам-е Представление ф-и в виде f(x)=A+ - асимптотическое разложение ф-и имеющ. lim в т.

в)о пределе постоянной величины Т: Для ф-и сохраняющей постоянное значение на всем отрезве предел в любой т. отрезка равен этой постоянной величине. Док-во f(x)=C= const. x€[a,b], lim_x→x0­C=C x₀€[a,b] Выберем любое ε>0,фиксируем,тогда сущ δ=δ(ε) х: 0<|x-x₀|<δ |C-C|<ε,0<ε Достаточно выбрать δ сколь угодно малое, чтобы теор.выполнялась.

г)о пределе суммы,разности,произведения и частного ф-й Если ф-я f(x) имеет предел в т.х₀, g(x)- имеет предел в т.х₀. 1 Ф-я равная алг сумме этих ф-й имеет предел в т.х₀,причем предел алг.суммы будет равен алг сумме пределов этой ф-и. f(x) g(x). lim_x→x0[f(x) g(x)]=lim _x→x0f(x) lim _x→x0g(x) 2 Ф-я равная производной этой ф-и имеет предел в т.х₀ причем справедлива следующая ф-ла f(x)•g(x) lim_x→x0[f(x)•g(x)]=lim _x→x0f(x)•lim_x→x0g(x) 3 Ф-я равная отношению(частному) этих ф-й будет иметь предел в т.х₀,предел знаменателя отличен от 0. lim_x→x0g(x)≠0. lim_x→x0[f(x)/g(x)]=lim _x→x0f(x)/lim_x→x0g(x). Теорема дает лишь достаточное условия существования предела +,• и частного ф-й в т., т.е. если не существует предел хотя бы одной из ф-й в т. нельзя утверждать,что не существует предел +,•,/. Н-р, f(x)=x, g(x)=sin(1/x) Предел произведения – предел б.м.=0.Разность и сумма тоже – предел=х.

д)о сохранении знака ф-и, имеющей предел: Если ф-я f(x) имеет предел в т.х₀ равный А,и ф-я f(x)≥0 в нек проколотой окрестности этой точки,то и предел А≥0. Док-во f(x) ≥0, (x₀), А≥0. (от противного) Пусть A<0.Знаем,что ф-я имеет предел.(lim_x→x0 f(x)=A) .Ф-я не отрицательна предположили, что А<0. |f(x)-А|=||f(x)|+|А||=|f(x)|+|A| min(δ₁,δ)=δ₂. |f(x)-А|>|A|-по этой оценке. Пришли к противоречию сравнив нер-ва, из-за предположения А<0→А≥0

е)о переходе к пределу в неравенствах Если f(x) имеет предел в т.х₀ равный А и g(x) имеет предел в т.х₀ равный B,то если f(x)≤g(x) в (х₀),то и А≤В. Док-во (мет.от пр.) Пусть А>В, А-В=h, h>0. (lim_x→x0 f(x)=A)

A-h/3<f(x)<A+h/3 (1)

(lim_x→x0 f(x)=B)

B-h/3<f(x)<B+h/3 (2), min(δ_1,δ₂,δ)=δ₃, f(x)≤g(x) A-h/3<f(x), g(x)<B+h/3, A=B+h, B+h-h/3<B+h/3, h/3<0. Ошибка в предположении А≤В.

ж)о пределе промежуточной ф-и Если f(x) имеет предел в т х₀=А, g(x) имеет предел в т.х₀ =А, причем f(x)≤φ(x)≤g(x) в проколотой окр. т. х₀, то и ф-я φ(x) имеет предел=А. Док-во (lim_x→x0 f(x)=A)

A-ε<f(x)<A+ε (*) (lim_x→x0 g(x)=A) , A- ε <g(x)<A+ ε (#) f(x)≤φ(x)≤g(x) (x₀), из *# → А-ε<f(x)≤φ(x)≤g(x)<A+ε min(δ₁,δ₂,δ)=δ₃ (lim_x→x0 φ(x)=A) Ч.т.д