Билет №1

1)Сущность операции проецирования

В пространстве дан экран (пл-ть) П₀, выбирается произвольная

точка А,

S – центр проецирования

А₀ – проекция т-ки А на плоскость П₀

Итак, чтобы получить проекцию т-ки на пл-ть проекций, необходимо из центра проекций и т-ку в пространстве провести проецирующий луч до пересечения с пл-тью проекций. Полученная т-ка наз-ся проекцией т-ки или изображением т-ки.

Эта простая задача лежит в основе НГ.

Обозначим все эти действия с помощью условных обозначений.

Дано: П₀ и S

А А₀ - ?

Решение: 1) S А  SА - принцип проецирования

2) SА ∩ П₀  А₀

2) Линейчатые поверхности с одной направляющей и т-кой (вершиной)

Эти поверхности образуются движением прямой образующей, один конец которой проходит через неподвижную т-ку S, а второй - перемещается по направляющей m. В зависимости от того, какой линией является направляющая, образуется тот или иной вид поверхности.

Определитель такой поверхности имеет вид: Σ (S, m),

где S – конечная т-ка, m – направляющая.ъ

Поверхности, образующиеся в данной группе:

а) коническая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ, по криволинейной направляющей m и проходящей через одну фиксированную т-ку (вершину) S.

б) пирамидальная поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m

в) цилиндрическая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ, по криволинейной направляющей m, при условии, что S бесконечно удалена. (т.е. все образующие двигаются относительно друг-друга параллельно)

г) призматическая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m, при этом S бесконечно удалена.

Билет№2

Виды проецирования

1)В зависимости от положения т-ки S относительно пл-ти проекций, проецирование делится на 2 вида:

1. Центральное проецирование

S – конечная т-ка (собственная). А, В, С – произвольные т-ки,  - щие линии ℓ.

Лучи создают коническую поверхность Σ, она пересекается с плоскостью П₁.

Σ ∩ П₁ Σ  ℓ.  ℓ₁ (А₁, В₁, С₁ ) – центральная проекция линии ℓ.

2. Параллельное проецирование

В свою очередь, параллельное проецирование делится на 2 вида, которые зависят от угла наклона проецирующих лучей к пл-ти проекций:

а) прямоугольное или ортогональное проецирование

Каждый из лучей лежит относительно пл-ти П₁ под углом 90⁰.

б) косоугольное проецирование φ - ∕ угол наклона проецирующего луча к пл-ти проекций

2) Поверхности, образованные 2-мя направляющими и пл-тью параллелизма

Поверхности данной группы образуются при движении в пространстве прямой образующей ℓ по двум направляющим m и n, оставаясь при этом параллельной заданной пл-ти Г, которая называется пл-тью параллелизма. Определитель такой поверхности имеет вид: Σ (Г,m,n)

В данную группу входят следующие поверхности:

а) цилиндроид – поверхность, образованная движением прямой образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум криволинейным направляющим m и n, не лежащим в одной плоскости.

б) коноид образуется движением прямой образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум направляющим m и n, одна из которых является прямой линией, а вторая – какой-либо кривой.

в) гиперболический параболоид (гипар) образуется движением прямолинейной образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум прямолинейным направляющим m и n, представляющие собой две скрещивающиеся прямые

Билет№3

1)Общие свойства проецирования

1. Проекция т-ки - есть т-ка.

2. Проекция прямой – прямая (частный случай: проекция прямой – т-ка, если прямая проходит через центр проекций).

3. Если т-ка в пространстве лежит на линии, то проекция этой т-ки принадлежит проекции этой линии.

Для параллельного проецирования характерны еще 2 свойства:

1. Проекции параллельных прямых также параллельны.

2. Отношение длин параллельных отрезков равны отношению длин их проекций:

‍‍|АВ|‍ _ |А₀В₀|

|СD| ¯ |С₀D₀|

При наличии одного центра проекций т-ки S и одной пл-ти проекций, черт. является необратимым.

Какое бы кол-во т-ек на луче ни брать, их проекциями

на П₁ является А₁

А₁ ≡ В₁ ≡ С₁ ≡ D₁

Черт. необратим, т.к. т-ке А₁ соответствует каждая из т-ек, принадлежащих этому лучу.

Мы не можем по данному чертежу определить, на каком расстоянии находится т-ка А.

Чтобы сделать чертёж обратимым, аппарат проецирования удваивается, т.е. создаётся ещё одна пл-ть пр-ий и ещё один центр проецирования.

Б ерутся две пл-ти пр-ий П₁ и П₂ и два направления проецирующих лучей S₁ и S₂.

П₁ – горизонтальная пл-ть пр-ий.

П₂ – фронтальная пл-ть пр-ий.

А_{1 –} горизонтальная пр-ия т-ки.

А₂ – фронтальная пр-ия т-ки.

Соединив пр-ии т-ки А, А₁ и А₂, получим т-ку А₁₂. Таким образом, полученная пара т-ек является моделью т-ки А в пространстве (или изображением). В этом случае черт. является обратимым, т.к. т-ке А в пространстве соответствует пара т-ек А₁ и А₂ на черт., и наоборот, по т-кам А₁ и А₂ можно определить положение т-ки А в пространстве.

Этот метод моделирования наз-ся методом 2-х изображений