18. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях(вывод). Уметь решать задачи на нахождение e,n,m.

Обозначим через m число появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления этого события постоянна и равна p(соответственно вероятность непоявления также постоянна и равна q=1-p ).

Вывод: вероятность того, что отклонение относительной m/n частоты от постоянной вероятности p не превысит заданного числа E>0 , приближенно равна удвоенной функции Лапласа с аргументом .

19. Случайные величины - дискретные и непрерывные. Определение и примеры.

Опр: случайной величиной называют величину, которая в результате испытания принимает одно из своих возможных значений.

случайные величины обозначают заглавными буквами латин.алфовита X,Y,Z,W...

Все случайные величины можно разделить на 2 гр: 1) ДСВ, 2) НСВ.

Возможные значения ДСВ - отдельные изолированные числа. Возможные значения НСВ сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения:Например, денежный выигрыш в какой-нибудь лотерее, или количество очков при бросании игральной кости, или число появления события при нескольких испытаниях. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счётным множеством)

Для сравнения - непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого числового промежутка: например, температура воздуха в определённый день, вес ребёнка в каком-либо возрасте, и т.д.

20. Закон распределения ДСВ -определение. (вывод).

Соответствие между возможными значениями ДСВ и их вероятностями

Х x₁ x₂ … x_n

Р p₁ p₂ … p_n

док-во: (Х=х₁)- событие, что случайная величина Х приняли х₁; (Х=х_n) - случайная величина приняла х_n.

(Х=х₁)+(Х=х₂)+...+(Х=х_n)=U -достоверн. несовместные.

р(Х=х₁)+р(Х=х₂)+...+р(Х=х_n)=р(U)

Р₁+Р₂+...+Р_n=1

чтд.

21. Биномиальное, геометрическое (бесконечное с ограничением) распределения, распределение Пуассона - определения.

Биномиа́льное распределе́ние — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна .

Геометри́ческое распределе́ние — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

22. Мат ожидание дсв, его вероятность и механический смысл.

М(х) - число, котрое находится по формуле :

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности.

Механический смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины, т.е. то значение, которое может быть использовано вместо конкретного значения, принимаемого случайной величиной в приблизительных расчетах или оценках.

23. Св-ва мат ожидания. 1) Мат ожид пост-ой велич-ы=самой пост-ой: M[C] = C 2) Постоянный множитель можно выносить за знак мат ожидания: M[CX] = CM[X]. 3) Мат ожид-е произведения двух независ-ых СВ равно произведению их мат-их ожиданий: M[XY ] = M[X]M[Y ]. Следствие. Мате ожидание произведения нескольких взаимно независ-ых СВ = произведению их мат-их ожиданий. Например, для трех случайных величин: M[XY Z] = M[XY ]M[Z] = M[X]M[Y ]M[Z]. 4) Мат ожидание суммы двух СВ = сумме математических ожиданий слагаемых: M[X + Y ] = M[X] + M[Y ]. Следствие. Мат ожидание суммы нескольких СВ = сумме мат ожиданий слагаемых. Например, для трех слагаемых величин имеем M[X + Y + Z] = M[X + Y ] + M[Z] = M[X] + M[Y ] + M[Z]. 5) Мат ожидание M[X] числа появлений события A в n независ-ых испытаниях = произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: M[X] = np.

25. Дисперсия ДСВ (определ. И рабоч.формула). Дисперсией (рассеянием) дискретной случ-ой величины D[X] называют мат ожидание квадрата отклонения случ-ой величины от ее мат ожидания: D[X] = M[X − M[X]. Для вычисления дисперсии удобно пользоваться следующей теоремой: . Дисперсия равна разности между мат ожиданием квадрата случ-ой величины X и квадратом ее мате ожидания: D[X] = M[X2] − [M[X]]. Док-во: D[X] = M[X − -- M[X]]2= M[X2− 2XM[X] + M2[X]] == M[X2] − 2M[X]M[X] + + M2[X] =M[X2] − 2M2[X] + M2[X] = M[X2] − M2[X].

26. Св-ва дисперсии ДСВ. 1) Дисперсия постоянной величины C равна нулю; D[C] = 0. Док-во. По определению дисперсии,D[C] = M[[C − M[C]]2] = M[C − C] = M[0] = 0. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D[CX] = C2D[X] (Док-во. По определению дисперсии, D[CX] = M[[CX − M[CX]]2] = M[C2[X − M[X]]2] = C2D[X]. 3) Дисперсия суммы двух независимых СВ = сумме дисперсий этих величин: D[X + Y ] = D[X] + D[Y ]. Док-во. По формуле для вычисления дисперсии имеем D[X + Y ] = M[(X + Y )2] − [M[X + Y ]]2. Следствие. Дисперсия суммы неск-их взаимно независимых СВ = сумме дисперсий этих величин. D[X + Y + Z] = D[X + Y ] + D[Z] = D[X] + D[Y ] + D[Z] Следствие. Дисперсия суммы постоянной СВ = дисперсии СВ: D[C + X] = D[X] 4) Дисперсия разности двух независимых СВ = сумме их дисперсий: D[X − Y ] = D[X] + D[Y ]. 5) Дисперсия числа появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из к-ых вероятность p появления события постоянна, = произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D[X] = npq.

27.Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых СВ. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:… Среднее квадратическое отклонение, следовательно, является, как и дисперсия, мерой рассеяния распределения, но измеряется, в отличие от дисперсии, в тех же единицах, которые используют для измерения значений случайной величины.

28. Дисперсия биномиального рапределения. Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности p _i вычисляют по формуле Бернулли. Для биномиального распределения: математическое ожидание M(X) = np, дисперсия D(X) = npq, мода np-q ≤ Mo ≤ np+p, коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq,коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq. В пределе при n→∞ биномиальное распределение по своим значениям приближается к нормальному с параметрами a=np и σ=√npqВ пределе при n→∞ и при p→0 биномиальное распределение превращается в распределение Пуассона с параметром λ=np.

29.Функция распределения вероятностей СВ. Вид графика F(х)для Х(a,b), Х(- ;+ ), Х-дискретная СВ.Ф-ия распределения- функцию F(X), определ-ая вероятность того,что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

1 . Значения функции распределения принадлежат отрезку  : 2.   —неубывающая функция, т.е. , если  .Следствие. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале  , = приращению ф-ии распределения на этом интервале: Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу  , то: 1)   при  ; 2)   при  . . Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: Доказанные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство).При возрастании х в интервале (a,b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх» (второе свойство).При   ординаты графика равны нулю; при   ординаты графика равны единице (третье свойство).График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис.

30. Плотность распределения вероятностей случайной величины. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию   — первую производную от функции распределения  : Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима. Св-ва плотности распределения вероятностей 1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция: . 2. Несобственный интеграл от плотности распределения вероятностей в пределах от   до   равен единице: .Вероятностный смысл плотности распределения вероятности. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу  , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно  ) произведению плотности распределения вероятности в точке на длину интервала   : .

31. Математическое ожидание и дисперсия НСВ..Математическим  ожиданием  непрерывной  случайной величин Х , возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл    Если возможные значения принадлежат всей оси Ох , то   2.  Дисперсией непрерывной случайной величины Х  называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х  принадлежат отрезку   , то

если возможные значения принадлежат всей оси х, то

Для вычислений более удобны формулы:

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для  величины дискретной, равенством   .

Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных  случайных  величин сохраняются и для  непрерывных  случайных  величин.

32. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X , плотность которого имеет вид где a - любое действительное число, а  >0. а имеет смысл М(Х) мат ожид, -среднее квадратич. График плотности распределения вероятности нормального закона называется нормальной кривой или кривой Гаусса:

34. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.Нормальное распред-НСВ Х имеет еормраспред если ф-яот плотности имеет вид. Нормальное распределение задается двумя параметрами: – математическим ожиданием, а=М(х) – средним квадратическим отклонением.=Д(х). Вероятность- вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна:

35. Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания. вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х не превысит , равна: , где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.

36. Правило «трех сигм». воспользуемся формулой для нахождения вероятности заданного отклонения, в которую в качестве подставим : Вывод (правило трех сигм): если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения

37.Показательное (экспоненциальное) распределение, функция плотности, ее график. НСВ Х имеет показат распред если ф-ии плотности имеет вид f(x) =0, x <0

= λ*e –^λx, x≥0 График f(x)имеет вид (Ф-я распред)

е ^{-λ х}=1/e ^λx где λ — постоянная положительная величина

ФУНК Плотности: f(x)=F ^/(x)