I7) Математическая формулировка и особенности венгерского метода решения задач целочисленного программирования.
Шаг 1. Проводим предварительные преобразования матрицы C (получаем эквивалентную матрицу).
Формулы предварительных преобразований:
1)
Преобразование в столбцах:
2) Преобразование в строках:
Шаг 2. Рассматривая столбцы матрицы сверху вниз поочередно, помечают звездочками нули таким образом, чтобы они не лежали в одной строке или одном столбце (отмечается первый попавшийся [но в соответствии с алгоритмом] в столбце ноль). Если количество поставленных звездочек равно m, то оптимальное решение найдено, и процесс решения закончен.
Шаг 3.
а) столбцы, в которых есть нули со звездочками, помечают сверху знаком «+», и далее эти столбцы считают занятыми;
б) просматривая строки матрицы слева направо, ищут незанятые нули. Незанятый ноль помечается знаком штрих, строку, в которой он находится, справа помечают знаком «+», и далее эту строку считают занятой. Если в строке нуля со штрихом есть ноль со звездочкой, то снимают знак занятости «+» со столбца, где находится ноль со звездочкой. Если в строке 0’ нет нуля со звездочкой, переходят к шагу 5. Если в процессе поиска незанятых нулей оказалось, что незанятых нулей больше нет, а решение при этом не менялось, то переходят к шагу 4.
Шаг 4. Выбирается минимальный незанятый элемент (h). Число (h) вычитается из всех незанятых строк, и прибавляется ко всем занятым столбцам. Таким образом, получаем следующую эквивалентную матрицу. В новой матрице все пометки сохраняются. После этого повторяют выполнение шага 3 в части «б».
Шаг 5. Производим построение цепочки из нулей. Начиная от последнего отмеченного 0’, двигаясь по столбцу к 0*, далее по строке к 0’, и так далее, пока это возможно. Внутри цепочки знаки * снимаются, а вместо штрихов ставятся звездочки. После этого все знаки, кроме *, снимаются (штрихи, плюсы), и возвращаются к шагу 2.
18) Математическая формулировка и особенности метода ветвей и границ.
Он сводится к последовательному дихометрическому разбиению множества допустимых планов задачи целочисленного программирования Lu на подмножества. Процесс разбиения продолжается до тех пор. пока каждое подмножество не будет представлять собой точку в многомерном пространстве. Процесс последовательного сечения исходного множества решений L0 гиперплоскостями на L11 и LI2. L12 на L21 и L22 и т. д. Чтобы уменьшить объем перебора, производят оценку образуемых подмножеств по наибольшему (наименьшему) значению для задач максимизации (минимизации) целевой функции. Это позволяет на каждом шаге исключать из рассмотрения те подмножества, для которых ожидаемое значение целевой функции оказывается наихудшим.
Пусть на произвольной итерации t нижняя граница оптимального значения целевой функции равна F(X0). а задачи, полученные в результате разбиения на предыдущих итерациях множества допустимых планов на подмножества и подлежащие решению, образуют список L.
Тогда процесс разбиения можно записать следующим образом:
I °. Просматриваем список L. Если он пуст, то вычисления прекращаются, в противном случае выбираем из списка одну из задач и исключаем ее из L.
2°. Решаем выбранную задачу без учета требований на целочис-ленность переменных. Если она не имеет допустимого решения или найденное оптимальное значение целевой функции F(X t) ≤F(X0), то возвращаемся к 1 °.
3°. Если полученное оптимальное решение удовлетворяет целочисленным ограничениям, то F(X0) принимаем равным F(X t) и возвращаемся к 1 °.
4°. Выбираем любую переменную xi i= I, 2…, pt не имеющую целого значения. Пусть хit= dit a [dt] определяет наибольшее число, меньшее или равное dt. Заносим в список L две задачи, идентичные задаче, выбранной на шаге 10 В одной из них верхняя граница х, заменена на [dj, а в другой нижняя граница xt заменена на [dt] + I. Переходим к 1°.