1.15. Что такое сомнительные и верные числа числа. Способы их вычисления.

Значащая цифра _к считается верной, если выполняется неравенство

     ^n-к+1 ,       0    1,

в противном случае _к – сомнительная цифра.

Пример.   Определить число верных знаков в записи числа е =2,7180,001. Х*=2,718;    =0,001=0,110^-2;   n=0. Выберем  = 0,75. 0,1  10^-2  0,75  10 ^0-к+1. Решим неравенство относительно неизвестного к.     к  3. Т.о., верными цифрами числа являются 2,71. Цифра 8 – сомнительная.

1.16. Что такое значащие цифры числа.

Значащими цифрами числа Х* называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Любое число можно представить в виде:

Х*=  ₁   ⁿ +  ₂   ^{n -1} + ... +  _m   ^n-m+1,

где ₁ –  первая значащая цифра;

– основание системы счисления (2, 8, 10, 16);

        0  _i .

1.17. Сформулировать основную задачу теории погрешностей.

Основной задачей теории погрешности является оценка погрешности сложной функции по известным погрешностям аргументов этой функции.

1.18. Дать определение разрядной сетке ЭВМ.

Это количество чисел после запятой, которые может воспринят и обработать ЭВМ.

1.19. Погрешность математической модели.

1.20. Погрешность вычислительного метода.

Погрешность, которая возникает в процессе нахождния результата по вычислительному методу.

1.21. Источники погрешности численого результата.

а) Связанные с самой постановкой математической задачи.

б) Связаные с наличием бесконечных процессов в математичеком анализе.

в) Связанные с наличием в математических формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно.

г) Связаные с системой счисления.

д) Связанные с действиями над приближенными числами.

1.22. Погрешность округления ЭВМ.

Это погрешность разрядной сетки ЭВМ, когда количество цифер после запятой больше, чем может воспринять ЭВМ, в этом случае число округляется с погрешностью.

1.23. Погрешность сложной функции.

 Если сложная функция Z зависит только от двух аргументов, т.е. Z=f(x, y), формулы погрешностей  имеют достаточно простой вид и приведены ниже для наиболее часто встречающихся видах функциональных зависимостей.

Абсолютная погрешность	Относительная погрешность

1.24. Понятие вычислительного эксперимента.

1.25. Погрешность дескритизации.

1.26. Оценить абсолютную погрешность функции F=x²-y^-3

∆( x²-y^-3)=2x∆x-3y∆y^-4

1.27. Сколько значащих цифр в числе 1223.0034

Значащих цифр 8, так как значащимися цифрами считаются цифры числа начиная с первой ненулевой свева.

1.28. Как влияет способ представления чисел в эвм на точность результатов.

Возникают погрешности разрядной сетки ЭВМ.

Это когда количество цифер после запятой больше, чем может воспринять ЭВМ, в этом случае число округляется с погрешностью.

2.1	Дайте понятие первообразной
2.2	Приведите понятие сетки узлов, шага сетки, частичного интервала.
2.3	Квадратурная формула формулу Ньютона- Котеса.
2.4	В чем состоит основная идея численного интегрирования.
2.5	Приведите формулы средних, левых и правых прямоугольников.
2.6	Приведите формулы трапеций и Симпсона.
2.7	Укажите оценку погрешности интегрирования по формуле остаточного члена.
2.8	В чем состоит принцип Рунге для оценки погрешности численного интегрирования.
2.9	Метод Монте- Карло для решения задачи численного интегрирования
2.10	Модификации метода Монте- Карло для решения задачи численного интегрирования
2.11	Каковы способы повышения точности при численном интегрировании.
2.12	Геометрическая интерпретация метода прямоугольников
2.13	Влияние шага интегрирования на точность решения
2.14	Геометрическая интерпретация метода трапеций
2.15	Геометрическая интерпретация метода Симпсона

2.1.Дайте понятие первообразной

Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x) в данном интервале, если во всех точках интервала верно равенство F’(x)=f(x).

2.2.Приведите понятие сетки узлов, шага сетки, частичного интервала.

Сетка узлов – таблица значений функции с соответствующими им аргументами, принадлежащими данному промежутку. Сетки могут быть равномерными и неравномерными (при равномерной сетке расстояние между узлами– const). Расстояние между узлами при равномерной сетке называется шагом (h). x_i+1-x_i - частичный интервал.

2.3.Квадратурная формула Ньютона – Котеса

- квадратурная формула (если узлы равномерны то формула называется Квадратурной формулой Ньютона – Котеса)

где    A_i – числовые коэффициенты;

          х_i – узлы равномерной сетки, в которых задана или вычисляется функция f(x); х_i= х_i-1+h; h=(b-a)/n – шаг сетки; х_i= a+ih;

          n – число узлов на интервале [a, b].

2.4. В чем состоит основная идея численного интегрирования

При вычислении определенного интеграла нередко возникают сложности получения первообразной подынтегральной  функции f(x), либо функция f(x) представлена не в аналитическом виде, а в виде отдельных отсчетов (измерений). В этом случае, может быть поставлена задача численного (приближенного) интегрирования. При её решении интеграл вычисляется как сумма значений подынтегральной функции  f(x_i), i=1,2,…n.

2.5. Приведите формулы средних, левых и правых прямоугольников

- Левых прямоугольников

- правых прямоугольников

- Средних прямоугольников

2.6.Приведите формулы трапеций и Симпсона.

- трапеции

- Симпсона

2.7.Укажите оценку погрешности интегрирования по формуле остаточного члена.

Оценка погрешности может быть выполнена двумя способами:

1. на основе остаточного члена

2. по методу Рунге

Для формулы остаточного члена справедливы следующие оценки.

Метод средних прямоугольников:

.

 Метод трапеций:

.

Метод Симпсона:

.

В формулах величины M₂, M₄ характеризуют значения производных II, IV степени на интервале:

.

2.8.В чем состоит принцип Рунге для оценки погрешности численного интегрирования.

Принцип Рунге позволяет оценить погрешность интегрирования по вычисленным значениям интеграла для шага h  и 2h (I_h, I_2h). Общая формула

,

где k – порядок метода,

k=3 – метод трапеций;

k=5 – метод Симпсона.

2.9.Метод Монте-Карло для решения задачи численного интегрирования

Метод статических испытаний. Метод основан на использовании генераторов случайных чисел, когда, вместо вычисления некоторой случайной величины, вычисляется вероятность ее появления.

2.10.Модификации метода Монте-Карло для решения задачи численного интегрирования

Для численного интегрирования метод Монте-Карло возможен в двух модификациях. Рассмотрим первую из них на формуле треугольников:

В методе Монте-Карло положение узлов выбирается случайным образом, с помощью датчика равномерно распределенных чисел, тогда погрешность…

2.11. Каковы способы повышения точности при численном интегрировании.

При численном интегрировании для повышения точности можно уменьшить шаг (увеличить количество узлов).

2.12.Геометрическая интерпретация метода прямоугольников

2.13. Влияние шага интегрирования на точность решения

Чем меньше шаг, тем меньше ошибка.

2.14. Геометрическая интерпретация метода трапеций

2.15. Геометрическая интерпретация метода Симпсона

3.1	Назовите приближенные методы решения систем нелинейных уравнений 423
3.2	Примеры алгебраических уравнений
3.3	Определение трансцендентного уравнения, примеры.
3.4	Определение корня уравнения
3.5	Для чего производится процедура отделения корней нелинейного уравнения и предварительное исследование уравнений. Примеры.
3.6	Основные понятия итерационного процесса
3.7	Сформулируйте теорему о сходимости метода простых итераций
3.8	Укажите классы нелинейных уравнений.
3.9	Приведите примеры алгебраических и трансцендентных уравнений
3.10	Выделите этапы решения нелинейного уравнения.
3.11	Какие существуют методы отделения корней нелинейного уравнения.
3.12	Перечислите интервальные методы нахождения корней.
3.13	Сформулируйте теорему интервалов.
3.14	Приведите геометрическую иллюстрацию метода дихотомии
3.15	Приведите геометрическую иллюстрацию метода хорд
3.16	Приведите геометрическую иллюстрацию метода касательных (Ньютона)
3.17	Приведите геометрическую иллюстрацию метода простых итераций для решения нелинейных уравнений
3.18	Дайте понятие итерационного процесса, сходимости и погрешности методов.
3.19	Приведите достаточные условия метода простых итераций для решения нелинейного уравнения и систем нелинейных уравнений.
3.20	Правило останова итерационных методов решения нелинейных уравнений
3.21	Условия сходимости метода простых итераций 507
3.22	Вычислительные (решающие) блоки ППП MathCad для решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
3.23	Геометрическая интерпретация сходимости метода простых итераций
3.24	Методы решения систем нелинейных уравнений
3.25	Метод дихотомии для решения нелинейных уравнений
3.26	Метод хорд для решения нелинейных уравнений
3.27	Метод касательных (Ньютона) для решения нелинейных уравнений
3.28	Метод простых итераций для решения нелинейных уравнений
3.29	Опишите основные свойства прямых и итерационных методов решения уравнений.
3.30	Что понимают под сходимостью итерационной процедуры. Примеры.
3.31	Поясните, что такое скорость сходимости и как она связана с эффективностью метода.