- •1.1 Что такое погрешности числа и вычислений.
- •1.2. Дайте определение погрешности.
- •1.4. Укажите формы записи абсолютной погрешности.
- •1.14. Привести формы записи числа с фиксированной и плавающей запятой. Привести примеры записи.
- •1.15. Что такое сомнительные и верные числа числа. Способы их вычисления.
- •1.24. Понятие вычислительного эксперимента.
- •1.27. Сколько значащих цифр в числе 1223.0034
- •1.28. Как влияет способ представления чисел в эвм на точность результатов.
- •3.1. Назовите приближенные методы решения систем нелинейных уравнений
- •3.6.Основные понятия итерационного процесса
- •3.20.Правило останова итерационных методов решения нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций (метод Якоби) для решения систем нелинейных уравнений
- •Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений
- •4.10 Нормой матрицы l называют такое вещественное число, которое удовлетворяет следующим условиям:
- •4.11 Примеры норм матриц
- •4.18. В чем сущность метода итерации для решения слау, как еще называют этот метод.
- •Метод Зейделя
- •Вычисление определителей методом Гаусса
- •5.1 Обыкновенное дифференциальное уравнение и уравнение в частных производных
- •5.2 Задача Коши и краевая задача
- •5.3 Методы Рунге-Кутта
- •5.7 Решение систем дифференциальных уравнений
- •5.8 Дайте определение задачи Коши
- •5.9 Дайте определение краевой задачи
- •5.10 Приведите классификацию дифференциальных уравнений
- •5.20 Методы Рунге для решении задачи Коши (идея и особенности)
- •5.21 Метод Эйлера для решения задачи Коши
- •5.22 Принцип Рунге для оценки шага при решении задачи Коши
- •5.23 Источники погрешности методов Рунге - Кутта
- •6.1 Основные задачи аппроксимации функций
- •6.2 Понятие интерполяции данных, критерий интерполяции
- •6.4 Фильтрация и сглаживание данных
- •6.5 Регрессионное уравнение
- •6.6 Метод наименьших квадратов
- •6.7 Экстраполяция данных (прогноз данных)
- •6.8 Показатели эффективности аппроксимации
- •6.9 Решение задач аппроксимации в пакете MathCad
- •6.10 Приведите понятие аппроксимации функций
- •6.11 Приведите понятие интерполирования данных (глобальная и локальная интерполяция)
- •6.12 Что такое сглаживание данных
- •6.17 В чем состоит основная идея сплайн аппроксимации.
- •6.18 Критерий метода наименьших квадратов
- •6.20. Процедуры интерполирования данных в ппп MathCad
- •6.21 Понятие регрессионного уравнения
- •6.22 Что такое базисные функции? Пример базисных функций.
- •6.23 Суть метода наименьших квадратов
- •6.24 Понятие аппроксимации
- •6.25. Показатели эффективности приближения данных
6.20. Процедуры интерполирования данных в ппп MathCad
В пакете Mathcad существует несколько процедур интерполяции экспериментальных данных многочленами различной степени. Процедуры lspline, pspline, cspline позволяют получить коэффициенты сплайн функции 1-го, 2-го и 3-го порядков соответственно. Эти коэффициенты являются затем входной информации процедуры interp, производящей интерполяцию между узловыми значениями. Пример совместного использования процедур: k:=cspline(x,y) f(z):=interp(k,x,y,z).
Здесь x, y –векторные значения аргумента и функции экспериментальных данных; z – новые значения аргумента, по которым проводится интерполяция.
6.21 Понятие регрессионного уравнения
Регрессионное уравнение – аналитическая функция, позволяющая строить функцию при любых значениях аргумента и получение нового набора значений функции, более гладких, чем исходные данные, но только при исходных значениях аргумента. Является одним из с редств сглаживания данных.
Регрессионная функция является оптимальной в среднеквадратическом смысле. Графически это свойство соответствует построению линии визуально усредняющей экспериментальные данные.
На рисунке точками показаны экспериментальные данные, сплошной линией – функция их соединяющая, пунктирной- линия регрессии.
6.22 Что такое базисные функции? Пример базисных функций.
Базисные функции – это функции, линейной комбинацией которых мы можем произвести интерполирование любых данных, т.е. построить функцию максимально приближенную к экспериментальным данным. В качестве базисных функций используют логарифмические, тригонометрические, полиномиальные, экспоненциальные функции и т.д.
6.23 Суть метода наименьших квадратов
Рассмотрим суть метода МНК на примере построения аппроксимирующего (регрессионного) уравнения (x), включающего 2 базисные функции {1, sinx}:
(x)=a0+a1 sin(x).
В качестве критерия аппроксимации, т.е. правила, которому удовлетворяет регрессионное уравнение, выбрана среднеквадратическая погрешность:
(1)
где n – число измерений функции y(x), в узлах xi.
Выражение - определяет разницу между исходной (табличной) и результирующей (аппроксимирующей) функциями. Функция, удовлетворяющая критерию (1) является наилучшей в среднеквадратическом смысле, а метод ее нахождения – МНК. Для выполнения условия (1) необходимо, чтобы при полученных параметрах a0, a1 функция невязок S(a0, a1) имела стационарную точку, т.е.
Перепишем критерий (1) с учетом конкретного вида (x):
.
Найдем частные производные:
Перепишем праве части последних уравнений, вынося за знак суммы неизвестные коэффициенты регрессионного уравнения а0, а1:
Полученные уравнения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных а0, а1. Запишем систему в матрично- векторном виде:
.
Или
где матрица Ф носит название матрицы Грамма и зависит только от базисных функций, вектор определяется измеренными значениями y(xi) и базисными функциями.
Отсюда вектор искомых коэффициентов регрессионного уравнения: .
6.24 Понятие аппроксимации
Аппроксимация – приближение экспериментальных данных. Построение функциональной зависимости эмпирических данных в виде формулы, называемой аппроксимирующей формулой.
Экспериментальные данные – информация, полученная в процессе наблюдения над объектом или процессом и измеренная определенным параметром.