6.7 Экстраполяция данных (прогноз данных)

Экстраполяция данных – получение значений функции или процесса вне интервалов наблюдения. Прогнозирование возможно как для значений, находящихся перед наблюдаемым интервалом, так и для значений, находящихся после него.

6.8 Показатели эффективности аппроксимации

Существуют качественные и количественные показатели аппроксимации. Качественная оценка – визуальная, субъективная. Количественная – вводятся показатели точности. Пусть f(x) – истинное значение функции, не содержащее шумов. f_i=f(x_i), – измерительные шумы или погрешности. В качестве измеренной экспериментальной информации . – функция аппроксимации, которая устраняет шумы и повторяет ф-ию f(x)

Используются следующие показатели аппроксимации:

; – средняя квадратичная погрешность аппроксимации. Где n – количество измерений. Если в лабораторных условиях известно значение f_i, то ;

Чаще используют не абсолютные значения погрешностей, а их приведенные значения ;

Замечание: 1) если неизвестны значения f_max и f_min, то вместо них выбирают y_max-y_min.

2) иногда модуль разности в формулах заменяют на величину модуль среднего значения |f_ср|

6.9 Решение задач аппроксимации в пакете MathCad

Интерполяция:

В пакете Mathcad существует несколько процедур интерполяции экспериментальных данных многочленами различной степени. Процедуры lspline, pspline, cspline позволяют получить коэффициенты сплайн функции 1-го, 2-го и 3-го порядков соответственно. Эти коэффициенты являются затем входной информации процедуры interp, производящей интерполяцию между узловыми значениями. Пример совместного использования процедур: k:=cspline(x,y) f(z):=interp(k,x,y,z).

Здесь x, y –векторные значения аргумента и функции экспериментальных данных; z – новые значения аргумента, по которым проводится интерполяция.

Получение регрессионного уравнения:

В пакете Mathcad для получения регрессионного уравнения предназначена процедура regress (x,y,k). Параметры процедуры: x, y –векторные значения аргумента и функции экспериментальных данных; k – порядок полинома.

Сглаживание данных:

Для получения сглаживания в виде набора значений в пакете Mathcad предназначены процедуры: medsmooth, ksmooth, supsmooth. Процедура medsmooth(y,k) позволяет получить значения функции, сглаженные с помощью скользящей медианы. Параметры процедуры: y – вектор исходных данных (значения функции); k – ширина окна, по которому происходит сглаживание.

Результатом работы оператора Mathcad z:=medsmooth(y,k) является вектор z, содержащий сглаженные значения. Размерность вектора z совпадает с размерностью вектора y.

6.10 Приведите понятие аппроксимации функций

Аппроксимация функции заключается в замене функции, проходящей через узловые экспериментальные точки максимально приближенной к ним аппроксимирующей заранее известной линейной комбинацией базисных функций с помощью интерполирования или сглаживания и фильтрации, а также прогнозирование поведения функции вне пределов наблюдаемого интервала.

6.11 Приведите понятие интерполирования данных (глобальная и локальная интерполяция)

Интерполяция данных: требуется построить функцию, которая как можно ближе проходит через все значения экспериментальных данных.

Существует глобальная и локальная интерполяция. При глобальной интерполяции интерполирование производится на всем заданном интервале [a,b], а при локальном интерполировании только по некоторому промежутку [x_i,x_i+1]