2. Вычислим скорость точки м

Проекции вектора скорости точки М на оси координат:

Vx = dXM / dt = - 15πsin(0,5πt) (см/с),

Vy = d YM / dt = 10πcos(0,5πt) (см/с),

При t1 = 0,5 c Vx = - 15π · √2/2 = - 33,31 см/с,

Vy = 10π · √2/2 = 22,2 см/с.

Модуль вектора скорости

V = √ Vx² + Vy² = √ 33,31² + 22,2² = 40,03 см/с.

3. Вычислим ускорение точки м

Проекции вектора ускорения на оси координат

ax = dVx / dt = - 15ππ/2cos(0,5πt) = -7,5π²cos(0,5πt) (см/с²), ay = dVy / dt = - 10ππ/2sin(0,5πt) = -5π²sin(0,5πt) (см/с²).

При t = 0,5 с ax = -7,5 · 3,14² · √2/2 = - 52,29 (см/с²)

ay = - 5 · 3,14² · √2/2 = - 34,86 (см/с²)

Модуль вектора ускорения

a = √ ax² + ay² = √ 59,29² + 34,86² = 62,84 (см/с²)

Ускорение точки М в естественной системе координат

a = aτ + an, a = √aτ² + an² ,

Касательное ускорение

aτ = (Vx ax + Vy ay)/ V = (-33,31 · (-52,29) + 22,2 · (-34,86)) / 40,03 = 24,18 (см/с²)

Знак (+) указывает, что точка М движется ускоренно, следовательно, вектор aτ направлен по вектору V

Нормальное ускорение

an = √a² – aτ² = √ 62,84² – 24,18² = 58,002 (см/с²)

4. Вычислим радиус кривизны траектории при t = 0,5 с,

p = V² / an = 40,03² / 58,002 = 27,63 см.

5. Для момента t1 = 0,5 с наносим на траекторию положение точки М и вектора V, Vx, Vy, ax, ay, a, aτ, an, а также центр кривизны С.

Задача 2

Дано:

S = 0,5t + 2t² м

R1 = 0,7 м

R2 = 0,2 м

t1 = 1 c

R3 = 0,3 м

Найти:

φ1(t), ω1(t), ε1(t), ω1(t1), ε1(t1), V1, a1, V2, a2,

1. Определим законы движения звеньев механизма

Ведущее звено – груз Р – опускается вниз по закону: S = 0,5t + 2t² м. К грузу прикреплена нерастяжимая нить, намотанная на колесо 3. Перемещение груза вызывает поворот этого колеса. Следовательно,

φ3 R3 = S.

Отсюда φ3 = S / R3 = (0,5t + 2t² ) / 0,3 – закон вращения колеса 3.

Колеса 3 и 2 спарены, поэтому φ3 = φ2 = (0,5t + 2t² ) / 0,3 – закон вращения колеса 2.

Колесо 1 вращается под воздействием колеса 2, поэтому

φ1 R1 = φ2 R2 φ1 = φ2 R2 / R1 = 0,2 · 0,7 · (0,5t + 2t² ) / 0,3 = 2,33t + 9,32t² – закон вращения колеса 1.

Угловая скорость колеса 1 ω1 = dφ1/dt = 2,33 + 9,32t (с^-1)

Угловое ускорение колеса 1 ε1 = dω1/dt = 9,32 (с^-2).

При t1 = 1 c ω1 = 11,65 (с^-1) ε1 = 9,32 (с^-2).