§5. Общее решение игровых задач

В данном параграфе приводится способ нахождения всех решений матричной игры. Совокупность всех решений и называют общим решением.

П.1. Алгебраическая лемма

Условимся о некоторых определениях и обозначениях.

Определение 5.1. Пусть матрица получена путем вычеркивания из матрицы некоторых строк и столбцов. Тогда матрицу будем называть подматрицей матрицы и записывать это обстоятельство в виде .

Пусть матрица имеет строк и столбцов, ,

и . Если у вектора (соответственно ) вычеркнуть координаты с номерами, совпадающими с номерами строк (столбцов), вычеркнутых из при построении подматрицы , то получившийся вектор будем обозначать через ( ).

Следующая лемма имеет алгебраический характер, т.е. справедлива для любых, а не только для платежных матриц.

Лемма 5.1. Пусть в матрице размерности и ранга первые строк и первые столбцов линейно независимы, – подматрица матрицы , стоящая на пересечении указанных строк и столбцов. Тогда существует такая квадратная невырожденная подматрица ранга , что .

Доказательство. Очевидно .Дополним первые строк матрицы другими строками так, чтобы их число стало равным , и они в совокупности были линейно независимыми. Это возможно сделать, т.к. ранг матрицы равен . Для простоты рассуждений будем считать, что выбранная совокупность строк образована первыми строками матрицы . Аналогичные операцию и соглашение осуществим и со столбцами матрицы . Убедимся, что подматрица, стоящая на пересечении первых строк и столбцов, которую обозначим через , является невырожденной. Это утверждение требует доказательства, несмотря на то, что у матрицы первые строк и столбцов линейно независимы. При построении подматрицы эти же строки и столбцы могут стать укороченными и в этом случае стать линейно зависимыми. Доказывая лемму от противного, допустим, что строки матрицы линейно зависимы. Тогда одна из них за счет линейного комбинирования других строк может быть превращена в нулевую. Пусть таковой оказалась первая строка матрицы . Поскольку у матрицы первые строк и столбцов линейно независимы, то в первой строке матрицы после такого комбинирования останется, по крайней мере, один ненулевой элемент. Пусть такой элемент остался в столбце. Отметим, что поскольку первые столбцов матрицы линейно независимы, то в подматрице, состоящей из этих столбцов, есть минор порядка , отличный от нуля. Следовательно, в подматрице, составленной из первых столбцов матрицы , найдется отличный от нуля минор

порядка . Но это противоречит тому, что ранг матрицы равен . Значит, предположение о том, что строки матрицы линейно зависимы не справедливо. Теорема доказана.

П.2. Структура множеств оптимальных смешанных стратегий

Лемма 5.2. Множества оптимальных смешанных стратегий игроков являются выпуклыми замкнутыми ограниченными многогранниками.

Согласно теореме 2.2.1 оптимальные стратегии второго игрока удовлетворяют неравенствам

, , (5.1)

а т.к. эти стратегии смешанные, то они должны удовлетворять и условиям

, . (5.2)

Множество точек , удовлетворяющих системе (5.1), (5.2) линейных неравенств и равенству, является многогранным по определению. Так как во всех условиях (5.1), (5.2) присутствует знак равенства, то легко доказывается замкнутость множеств точек, им удовлетворяющих. В силу (5.2) оно является ограниченным. Убедимся, что множество точек, удовлетворяющих (5.1) является выпуклым. Пусть – два произвольных решения системы (5.1). Тогда

, (5.3)

и для любого числа в силу (5.3) выполняются условия

,

откуда и следует выпуклость множества решений системы (5.1). Аналогично доказывается и выпуклость множеств точек, удовлетворяющих каждому из условий (5.2). Таким образом, множество оптимальных стратегий является пересечением выпуклых множеств, и следовательно, множеством выпуклым.

Аналогично доказывается выпуклость множества оптимальных стратегий первого игрока. Лемма доказана.

Определение 5.2. Пусть зафиксированы точек пространства . Множество точек , представимых в виде

, (5.4)

т.е. являющихся выпуклыми комбинациями этих точек, называется их выпуклой оболочкой.

Лемма 5.3. Всякий выпуклый замкнутый ограниченный многогранник является выпуклой оболочкой своих вершин.

Доказательство проведем индукцией по числу вершин. Для двух вершин

лемма очевидна. Допустим, что она доказана для многогранников с числом вершин не более . Пусть теперь многогранник имеет +1 вершину, и . Если точка лежит на грани многогранника , то поскольку грань имеет вершин меньше, чем +1, то представляется в виде (5.4) в силу индукционного предположения. Пусть точка не лежит на грани многогранника . Выберем какую-нибудь вершину многогранника и обозначим ее , проведем луч из точки через . Так как многогранник является ограниченным и замкнутым, луч пересечет границу в некоторой точке . Тогда найдется такое число , что будет выполнено равенство

. (5.5)

Так как точка лежит на грани, а грань имеет число вершин меньшее, чем +1 , то по индукционному предположению можно представить в виде выпуклой комбинации вершин грани, что можно записать в форме

.

Подставляя в (5.5), Получим в виде линейной комбинации точек , коэффициенты которой неотрицательны, при этом их сумма равна

. Что и требовалось доказать.

Таким образом, чтобы найти все оптимальные стратегии первого (второго) игрока, нужно найти все крайние точки, т.е. вершины множества

. Общее решение игровой задачи запишется после этого в виде выпуклой комбинации вершин множества .

П.3. Крайние точки множеств оптимальных стратегий

Лемма 5.4 (О крайних точках). Пусть в игре, определенной - матрицей

1) , где , – крайние точки множеств оптимальных стратегий , соответственно,

2) цена ,

3) ,

4) – подматрица матрицы , стоящая на пересечении первых строк и первых столбцов.

Тогда первые строк и столбцов в матрице линейно независимы.

Прежде, чем проводить доказательство, выпишем для наглядности матрицу , учитывая данные леммы (матрица выписана на следующей странице). В силу условий 1) леммы и теоремы о дополняющей нежесткости

(5.6)

Таким образом, . В соответствии с этим в матрице выделим подматрицы .

Для наглядности над матрицей выпишем стратегию , а справа от нее – стратегию .

Требуется доказать, что в матрице

первые строк и линейно независимы.

Доказательство проведем способом от противного. Предположим, что в матрице первые строк линейно зависимы. Тогда найдутся такие числа , не все равные нулю, что

. (5.7)

Умножим каждое из этих равенств на , просуммируем их по и поменяем порядок суммирования. Так как при , то суммирование по индексу можно распространить на все индексы от 1 до .

.

Таким образом, получим равенство

. (5.8)

В силу третьего из условий леммы и равенства (5.8) выполняется равенство . А т.к. по условиям леммы , то

. (5.9)

Положим , , т.е.

,

где – числовой параметр. Убедимся, что для достаточно малых по абсолютной величине значений будет оптимальной смешанной стратегией первого игрока.

Поскольку при , то найдется такое , что для всех и . Кроме того, в силу (5.9)

.

Таким образом, является смешанной стратегией первого игрока при любых . Отметим, что

. (5.10) Если , то, учитывая (5.7) и (5.8), из (5.10) получим

. (5.11)

Если же , то в силу (5.6) и теоремы 2.2.1 оптимальности. Числа могут быть в данном случае ненулевыми, иметь разные знаки. Но их число конечно. Значит, найдется такое число , для которого правая часть неравенства (5.10) при любых останется не меньше, чем , т.е. будут выполнены неравенства

для всех . (5.12)

Таким образом, из (5.11) и (5.12) следует, что

для всех .

Отсюда и из теоремы 2.2.1 оптимальности векторы при являются смешанными оптимальными стратегиями. Следовательно, являются оптимальными смешанные стратегии и . Но , что невозможно, т.к. крайняя точка множества по определению не может быть выпуклой комбинацией двух других отличных друг от друга точек множества . Полученное противоречие говорит о том, что предположение о линейной зависимости первых строк матрицы не справедливо, т.е. они линейно независимы. Так как о линейной независимости первых столбцов матрицы доказывается аналогично, то можно считать доказательство леммы завершенным.

Теорема 5.1. Пусть игра, определенная матрицей , имеет цену и оптимальные смешанные стратегии . Для того чтобы были крайними точками множеств , соответственно, необходимо и достаточно, чтобы матрица содержала такую невырожденную подматрицу , что были бы простыми оптимальными стратегиями в игре с матрицей и той же ценой .

Доказательство. Необходимость. Дано, что являются крайними точками множеств , соответственно, Согласно теореме 3.1 перестановка строк в матрице приводит к перестановке координат в векторе с номерами, совпадающими с номерами переставленных строк, не изменяя цены игры. Аналогичное утверждение справедливо и для столбцов. Поэтому без ограничения общности рассуждений можно считать, что

.

Тогда справедливы равенства (5.6) в силу теоремы о дополняющей нежесткости. А поскольку такие равенства могут быть выполнены и для каких либо других индексов, то считаем, что выполнены условия 3) леммы 5.4. Таким образом, выполнены все условия леммы 5.4. Поэтому можно считать, что матрица разделена на подматрицы так же, как это сделано в этой лемме. Тогда согласно лемме 5.4 в матрице первые строк и первые столбцов линейно независимы. Но тогда в силу алгебраической леммы 5.1 существует такая квадратная невырожденная подматрица матрицы ранга , равного рангу матрицы , что . Из векторов построим векторы . Заметим, что векторы получаются путем вычеркивания из векторов нулевых координат. Значит, сумма координат в векторах остается равной единице. Следовательно, в игре с матрицей векторы являются смешанными стратегиями. Кроме того, для всех . А так как , то тем более эти равенства выполняются для всех . Аналогично, для всех и тем более для всех . Так как последние два равенства выполняются для одного и того же числа , то в силу следствия теоремы 2.2.1 является ценой, а – простыми оптимальными стратегиями в игре с матрицей . Необходимость доказана.

Достаточность. Отметим, что сейчас для доказательства имеются следующие данные:

1) – оптимальные смешанные стратегии в игре с матрицей и ценой ;

2) – такая квадратная невырожденная подматрица матрицы , что являются простыми оптимальными смешанными стратегиями в игре с матрицей и ценой .

Докажем только, что – крайняя точка множества , т.к. доказательство для точки проводится аналогично. Пусть элементы матрицы стоят на пересечении строк и столбцов с номерами из множеств , соответственно. Доказывая теорему от противного, предположим, что не является крайней точкой множества . Тогда найдутся такие две точки

(5.13)

и число , что

, (5.14)

в частности

. (5.15)

Так как по условиям , – смешанные стратегии, то точка получена из вектора вычеркиванием нулевых координат. Заметим, что если , то из (5.14) следует . Таким образом, векторы получены из смешанных стратегий тоже путем вычеркивания нулевых координат. Значит, сумма координат у векторов осталась равной единице и, следовательно, – смешанные стратегии в игре с матрицей . Из (5.15) следует

. (5.16)

По условию 2)

, (5.17)

где – -мерный вектор. Так как , то и для всех . Отсюда, , для всех , или иначе

, . (5.18)

Учитывая (5.18), ни одна из координат векторов , не может быть меньше . С другой стороны, в силу равенств (5.16) и (5.17) ни одна из координат этих векторов не может быть и больше . Следовательно, условия (5.18) выполняются как равенства , , т.е. стратегии являются решениями системы

(5.19)

линейных алгебраических уравнений. А так как матрицы является не вырожденной, то эта система имеет единственное решение. Значит , а т.к. при , то и , тогда как по условию (5.13) . Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

На основании теоремы 5.1 можно сформулировать алгоритм нахождения всех крайних точек многогранников , а следовательно, и общего решения игры. Отыскание крайних точек многогранников основано на следующем принципе. Выбирается квадратная невырожденная подматрица матрицы . Пусть подматрица находится на пересечении строк и столбцов с номерами , соответственно. Если игра с матрицей допускает простые смешанные стратегии , соответствующие числу , найденному согласно теореме 4.1, а расширения этих стратегий на местах вместе с числом удовлетворяют следствию теоремы 2.2.1, то – крайние точки многогранников а – цена игры. Если в процессе вычислений обнаружится, что нарушено одно из перечисленных требований, то подматрица не пригодна для построения крайних точек. Чтобы найти все крайние точки, требуется указанным приемом исследовать на пригодность все подматрицы матрицы .

П.4. Алгоритм нахождения общего решения игры

Прежде, чем приводить алгоритм вычисления крайних точек множеств оптимальных стратегий, приведем два вспомогательных утверждения.

Лемма 5.5. Если векторы

,

где единица у вектора стоит на -м, а у вектора – на -м месте, являются оптимальными смешанными стратегиями, то они являются крайними точками множеств .

Доказательство. Если допустить, что не является крайней точкой множества , то найдутся такие точки и число , что будет выполнено равенство . Сравнивая координаты векторов левой и правой частей этого равенства, обнаружим, что если , то и . Тогда , т.к. – смешанные стратегии. Таким образом, , что противоречит принципу выбора точек . Аналогично доказывается, что и – крайняя точка множества . Лемма доказана.

Лемма 5.6. Для того чтобы векторы

, (5.19)

где единица у вектора стоит на -ом, а у вектора – на -ом месте, были оптимальными стратегиями а – ценой игры с матрицей , необходимо и достаточно, чтобы пара была седловой точкой матрицы .

Доказательство. Необходимость. Так как векторы (5.19) являются оптимальными стратегиями а – ценой игры, то согласно теореме 2.2.1 оптимальности выполняются неравенства

т.е. выполняются неравенства

, (5.20)

но это и означает, что пара является седловой точкой матрицы .

Достаточность. Так как пара является седловой точкой матрицы ,

то выполняются неравенства (5.20). А так как для векторов (5.19) выполняются равенства

,

то отсюда и из (5.20) следует

Это силу следствия теоремы 2.2.1 означает, что векторы (5.19) являются оптимальными стратегиями, а число – ценой игры. Лемма доказана.

Леммы 5.5 и 5.6 показывают, что при нахождении крайних точек множеств с использованием теоремы 5.1 можно не исследовать на пригодность подматрицы, являющиеся отдельными элементами матрицы . Вместо этого достаточно найти седловые точки матрицы , если таковые есть, и в соответствии с леммой 5.6 определить цену игры и крайние точки вида (5.19).

А л г о р и т м 1

Пусть игра Г определена матрицей и цена .

1. Отыскиваются седловые точки, они записываются в виде смешанных стратегий и включаются в формируемые подмножества крайних точек. В этом случае находится сразу и цена игры.

2. Проверяем, нет ли среди столбцов матрицы строго мажорирующих. Если столбец – строго мажорирующий, то полагаем и -ый столбец матрицы вычеркиваем. Проверяем, нет ли среди строк матрицы строго минорирующих. Если строка является строго минорирующей, то полагаем , и -ую строку матрицы вычеркиваем (операции этого пункта не обязательны, но в случае удаления таких строк и столбцов можно сократить вычислительные трудности).

3. Выбираем квадратную подматрицу порядка не меньше двух (множества номеров строк и столбцов, на пересечении которых стоит подматрица , будем обозначать символами , соответственно).

4. Вычисляется определитель матрицы . Если , то матрица отбраковывается и следует переход к п.3 алгоритма.

5. Вычисляется матрица , обратная для матрицы .

6. Вычисляется число , равное сумме всех элементов матрицы . Если , то матрица отбраковывается и следует переход к п.3 алгоритма.

7. Полагается . Согласно теореме 5.1 это число предполагается равным цене . Если цена игры к этому моменту уже известна и , то матрица отбраковывается и следует переход к п.3 алгоритма.

8. Находится решение системы уравнений , где вектор имеет размерность матрицы . Если среди координат решения имеется отрицательная, то матрица отбраковывается и следует переход к п.3 алгоритма.

9. Находится решение системы уравнений , Если среди координат решения имеется отрицательная, то матрица отбраковывается и следует переход к п.3 алгоритма.

10. Векторы расширяются (нулями) до на местах .

11. Проверяется выполнение неравенств

.

Если хотя бы одно из них не выполняется, то матрица отбраковывается и следует переход к п.3 алгоритма. Иначе переходим к п.12.

12. Векторы включаются в формируемые подмножества крайних точек, число является ценой игры.

13. Если просмотрены не все квадратные подматрицы матрицы , то следует переход к пункту 3 алгоритма. Иначе следует переход к следующему пункту.

14. Выписываются множества оптимальных стратегий игроков в виде произвольных выпуклых комбинаций всех точек из множеств .

Вычислительное замечание. Проверять выполнение неравенств в пункте 11 нужно только для индексов , т.к. для индексов и указанные неравенства в силу пунктов 6 и 7 алгоритма заведомо выполняются как равенства.

Приведем пример на использование описанного алгоритма.

Пример 5.1. Требуется найти общее решение (все решения) игры, заданной матрицей

.

Решение.

1. Матрица имеет седловую точку (1,4). Значит, цена , а крайние точки множеств запишутся, соответственно, в виде

. (5,21)

2. Убеждаемся, что третий столбец строго мажорирует четвертый. Полагаем и третий столбец в дальнейших вычислениях не используется, т.е. подматрицы, содержащие третий столбец, не рассматриваются (обратим внимание, что первый и второй столбцы матрицы тоже мажорируют четвертый столбец, но они мажорируют его не строго, при их вычеркивании можно потерять решения, тогда как задача состоит в отыскании всех решений).

3. Выбираем подматрицу . Находим ее определитель , обратную матрицу , сумму всех элементов обратной матрицы. Тогда . Это число не совпадает с уже известной ценой . Поэтому матрица отбраковывается.

4. Для подматрицы находим , , и подматрица отбраковывается.

5. Выбираем . Тогда , . Поэтому из равенств (5.18) находим

, .

Так как при построении подматрицы не использовались первый и третий столбцы матрицы , то расширениями векторов до двух и четырехмерных векторов будут, соответственно,

. (5.22)

Проверяются условия следствия теоремы 2.2.1 оптимальности. Неравенства при и при заведомо выполняются как равенства. Убедимся, что и при первое из этих неравенств выполняется. Действительно, и . Значит, смешанные стратегии (5.22) являются оптимальными. Таким образом, общее решение записывается в виде выпуклой комбинации решений (5.21) и (5.22), т.е. в виде

, ,

где принимает любое значение из отрезка . Задача решена.

Упражнение 1. Показать, что в игре с матрицей

множество состоит из единственной точки , а крайними точками множества оптимальных стратегий являются и .

Упражнение 2. При каких значениях в игре с матрицей

решение единственно, и при каких – имеются различные крайние точки множеств ? Найти указанные решения.

Следующий материал не является обязательным для чтения, но в нем приводится лемма, которая может существенно сократить перебор подматриц матрицы в случае, когда матрица имеет седловую точку.

Единичный вектор с единицей на -ом месте будем обозначать через .

Лемма 5.7. Если игра с - матрицей кроме седловой точки имеет оптимальные смешанные стратегии , то

, (5.23)

. (5.24)

Доказательство. Так как – седловая точка, то в силу леммы 5.6 векторы являются оптимальными смешанными стратегиями, а число – ценой игры.

Согласно теореме 2.2.1 оптимальности для оптимальных стратегий и цены выполняются неравенства

. (5.25)

Кроме того, по определению седловой точки матрицы выполняются неравенства

, (5.26)

Если допустить, что условие (5.23) не выполняется, т.е. что в (5.26) выполняется строгое неравенство хотя бы для одного индекса , то получим

,

но это противоречит второму из неравенств (5.25) при . Таким образом, условие (5.23) доказано. Аналогично доказывается и (5.24). Лемма доказана.

Пример 5.2. Пусть игра определена матрицей

.

Определить все крайние точки множеств оптимальных стратегий.

Второй столбец матрицы мажорирует третий, но не строго. Поскольку требуется найти все решения, то второй столбец вычеркивать нельзя, т.к. можно потерять одно из решений.

Игра имеет седловую точку (1,3) . Следовательно, цена и – крайние точки множеств оптимальных стратегий. Ни одну из подматриц , образованных из элементов первых двух столбцов матрицы можно не исследовать. Действительно, в соответствии с п.8 алгоритма требуется найти решение уравнения . Но ни одна из координат вектора не может быть отличной от нуля, т.к. тогда в силу леммы 5.2, по крайней мере, один из элементов должен равняться трем. Нетрудно понять, что и при выборе других подматриц не может получиться решений, отличных от уже найденного.

Л и т е р а т у р а

1. Н.Н.Воробьев. Теория игр (для экономистов-кибернетиков). М.,«Наука», 1985.

2. Э.Г.Давыдов. Исследование операций. Учебное пособие М., 1990.

3. Л.А.Петросян, Н.А.Зенкевич, Р.А.Семина. Теория игр. Учебное пособие, М., «Высшая школа», 1998.

4. Я.И.Заботин. Теория игр (Теоретические основы и игры с седловой точкой). Набережные Челны: филиал Казанского государственного университета, 2003.

5. Я.И.Заботин. Теория игр, Ч.2. (Решения матричных игр в смешанных стратегиях). Набережные Челны: филиал Казанского государственного университета, 2004.

Дополнительная литература

6. Э.Г.Давыдов. Методы и модели теории антагонистических игр. М.,Изд-во МГУ, 1978.

7. Г.Н. Дюбин, В.Г.Суздаль. Введение в прикладную теорию игр. М., «Наука», 1981.

8. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М. «Физматгиз», 1960.

9. Г.Оуэн. Теория игр. М., «Мир», 1971.

С о д е р ж а н и е

В в е д е н и е ……………………………………………………………...…..3