§2. Теоремы об оптимальных смешанных стратегиях

Для того, чтобы оптимальные смешанные стратегии можно было вычислять, нужно установить каким аналитическим соотношениям они удовлетворяют и какими свойствами они обладают. Ответы на эти вопросы и даются в настоящем параграфе.

Теорема 2.1 (о необходимых и достаточных условиях оптимальности смешанных стратегий). Пусть – цена игры, определенной матрицей .

а) Для того чтобы смешанная стратегия была оптимальной для первого игрока, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств:

. (2.1)

б) Для того чтобы смешанная стратегия была оптимальной для второго игрока, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств:

(2.2)

Доказательство. Необходимость. Докажем только утверждение а), т.к. утверждение б) доказывается аналогично. Итак, пусть смешанная стратегия оптимальна, Требуется доказать, что выполняется условие (2.1). Согласно определению 1.3 является первой многомерной координатой некоторой седловой точки функции . Пусть такой точкой является пара . Тогда по определению седловой точки выполняются неравенства для всех . Поскольку значение функции в любой седловой точке одно и то же и равно цене игры, то правое из этих неравенств имеет вид

. (2.3)

Так как - мерный вектор , где единица стоит на -ом месте является смешанной стратегией при любом , то подставляя этот вектор в (2.3), получим неравенства

,

и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь выполняется условие (2.1) и – произвольная смешанная стратегия. Тогда

. (2.4)

При умножении (2.1) на , знаки неравенства в силу (2.4) сохранятся, а после суммирования полученных неравенств по , получим

.

Вынося за знак суммы в левой части, в силу (2.4) получим

. (2.5)

Кроме того, т.к. – цена игры, то по определению цены число равно значению функции в некоторой седловой точке, которую обозначим

. Тогда в силу определения седловой точки выполняется неравенство

. (2.6)

Но . Следовательно, из (2.5), (2.6) следует

.

Отсюда по лемме 1.3.1 – седловая точка функции , а ее первая координата – по определению 1.3 является оптимальной смешанной стратегией первого игрока. Теорема доказана.

Следствие 1. Для того чтобы число было ценой матричной игры Г, определенной матрицей А, а смешанные стратегии – были оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

( 2.7)

Доказательство. Необходимость. По условиям дано, что является ценой игры, а стратегии оптимальны. Тогда в силу теоремы выполняются оба неравенства (2.1) и (2.2), т.е. выполняется ( 2.7) .

Достаточность. Теперь по условиям теоремы неравенства (2.7) выполняются для некоторого числа и смешанных стратегий . Выберем произвольно смешанные стратегии . Умножим левое из неравенств (2.7) на и просуммируем по , а правое из неравенств (2.7) умножим на и

просуммируем по . Тогда, учитывая, что и , получим

или иными словами . Но тогда в силу леммы 1.3.1 о седловых точках пара является седловой точкой функции , а . Поскольку – функция выигрыша в игре Г, то это и означает по определению 1.3, что пара является решением а число – ценой игры с матрицей А. Следствие доказано.

Теорема 2.2 (о дополняющей нежесткости). Для оптимальных смешанных стратегий и цены игры с матрицей А выполняются равенства

, (2.7)

. (2.8)

Доказательство. Так как – решение игры, т.е. седловая точка функции , то по определению , или подробнее

. (2.9)

Так как , то равенство (2.9) можно записать в виде

.

Объединяя теперь обе суммы в одну, получим

. (2.10)

Так как , а по теореме 2.1 справедливы неравенства

,

то равенство (2.10) означает, что сумма неположительных чисел равна нулю. Но тогда каждое из этих чисел равно нулю, и

равенства (2.8) доказаны. Поменяв в (2.9) порядок суммирования и записав в виде аналогично можно доказать и равенства (2.7). Теорема доказана.

Теорема 2.3 (о решениях эквивалентных матричных игр). Пусть игры Г и Г’ определены, соответственно, матрицами

,

игра Г имеет цену , и существуют такие числа и , что для всех . Тогда игры Г и Г’ стратегически эквивалентны и – цена игры Г’.

Доказательство. Пусть – смешанные стратегии игроков. Запишем функцию выигрышей первого игрока в игре Г’ в виде

. (2.11)

Но . Тогда равенство (2.11) запишется в виде

. (2.12)

Таким образом, игры Г и Г’ по определению 1.1.8 стратегически эквивалентны, а по теореме 1.1.1 о стратегически эквивалентных играх их решения совпадают. Значит, седловая точка одной из функций , , то она является и седловой точкой другой функции, т.е. . Из (2.12) следует . Значит, , и теорема доказана.

Следствие. Пусть игры Г, Г’, Г” определены матрицами , , , где , с – константа. Тогда игры Г, Г’, Г” имеют совпадающие решения, и если – цена игры Г, то – цены игр Г’, Г”, соответственно.

Действительно, оба утверждения следствия вытекают из теоремы 2.3 при частных значениях и , соответственно.

Теорема 2.3 дает возможность иногда упрощать игровую матрицу, не изменяя при этом решения игры.

Пример 2.1. Пусть игра определена матрицей

.

Эта игра будет стратегически эквивалентна игре с матрицей, получающейся из матрицы прибавлением ко всем ее элементам одного и того же числа 1, т.е. игре с матрицей

.

Умножая все элементы этой матрицы на , получим матрицу

.

Так как согласно теореме 2.3 , то решив игру с матрицей , найдем цену исходной игры.