§1. Смешанные стратегии

Если при исследовании какой-то конфликтной ситуации оказалось, что ее математическая модель описывается матрицей выигрышей с седловой точкой, то описанными в первом пособии приемами легко найдутся оптимальные стратегии для первого и второго игроков и выигрыш первого игрока в этой игре. Но играть в игры с седловыми точками никто из тех, кто знает теорию игр, не будет, т.к. при положительной цене игры, первому игроку гарантирован выигрыш, равный ее цене. Для этого первому игроку достаточно придерживаться своей оптимальной стратегии сколько бы раз партии в игре ни повторялись и какую бы стратегию ни выбирал при этом второй игрок. При отрицательной цене игры аналогичная картина вырисовывалась бы для второго игрока.

Но есть игры, в которые играют с древнейших времен. Приведем одну из них и построим ее математическую модель.

Двупальцевая игра “Мора”.

В игре участвуют два игрока. Игра состоит из повторяющихся партий. В каждой партии каждый из игроков одновременно по команде судьи показывает другому игроку один или два пальца и произносит слова «один» или «два», пытаясь угадать, сколько пальцев покажет другой игрок. Если число показанных пальцев угадал один и только один из игроков, то он получает сумму, равную общему числу показанных пальцев, в противных случаях в этой партии фиксируется ничья – никто ничего не выигрывает.

Построим математическую модель этой игры. Стратегии каждого из игроков можно описать парой чисел , где число означает число показанных пальцев, а – произнесенное игроком число. Таким образом, множества и стратегий как первого, так и второго игроков представляют собой наборы пар (1,1), (1,2), (2,1), (2,2). Пронумеруем их, соответственно, числами 1, 2, 3, 4 .

Если теперь, например, первый игрок выберет первую стратегию (1.1), второй – третью (2.1), то первый игрок, сказав 1, не угадал числа показанных противником пальцев, а второй, сказав 1, угадал. Второй игрок выиграл сумму 1+2 показанных обоими игроками пальцев. Первый игрок проиграл 3 единицы. А так как в платежную матрицу записываются выигрыши первого игрока, то . Подсчитывая аналогично остальные элементы выигрышей первого игрока, установим, что математической моделью двупальцевой игры «Мора» является матрица, записанная в таблице 1.1.

Таблица 1.1

	J	1 2 3 4
I	Х\Y	(1.1) (1.2) (2.1) (2.2)
1 2 3 4	(1.1) (1.2) (2.1) (2.2)	0 2 -3 0 -2 0 0 3 3 0 0 -4 0 -3 4 0

Заметим, что в таблице 1.1

.

Поэтому согласно теореме 1.5.2 матрица выигрышей в описанной игре не имеет седловой точки.

Будем, как и раньше в , первым игроком считать себя, а вторым - нашего противника.

Будем считать, что игра состоит из партий. Партия состоит в том, что каждый игрок выбирает какую-либо стратегию из своего множества стратегий, и мы получаем выигрыш, зависящий от выбранных стратегий. Если в игре с седловой точкой нам было выгодно придерживаться своей оптимальной стратегии, то в двупальцевой игре такой стратегии нет. Если мы будем в этой игре придерживаться какой-нибудь определенной стратегии, то противник найдет свою стратегию такую, что мы будем проигрывать. Например, если мы будем постоянно выбирать третью стратегию, то противник будет выбирать свою четвертую стратегию, и мы постоянно будем проигрывать 4 единицы. Нельзя нам придерживаться и какого-нибудь более сложного правила выбора стратегий. Например, если мы поручим какому-нибудь автомату выбирать наши стратегии в порядке 1, 4, 2, 3, а потом этот порядок повторять, то через некоторое количество партий противник заметит эту закономерность и станет выбирать свои стратегии в порядке 3, 2, 1, 4, соответственно. Мы начнем постоянно проигрывать по очереди 3, 3, 2, 4 условных единицы. Значит, в такой игре в каждой партии нужно выбирать стратегию случайным образом.

Итак, пусть игра определена платежной матрицей

,

без седловой точки. Тогда множества и

представляют собой наборы стратегий первого и второго игроков, соответственно. Напомним, что партия в игре состоит в том, что первый игрок выбирает случайным образом стратегию с номером , т.е. номер строки матрицы А, второй игрок также случайным образом выбирает стратегию , т.е. номер столбца матрицы А, и первый игрок получает выигрыш , который, впрочем, может быть и отрицательным.

Определение 1.1. Матрицу А, определяющую игру Г, будем называть игровой. Если игровая матрица А не имеет седловых точек, то соответствующая ей игра Г называется матричной игрой без седловой точки.

Пусть – вероятность выбора первым игроком стратегии с номером , а – вероятность выбора вторым игроком стратегии с номером . Тогда

, . (1.1)

Обозначим .

Тогда математическим ожиданием выигрыша первого игрока в такой игре будет функция

. (1.2)

Определение 1.2. Векторы , координаты которых удовлетворяют условиям (1.1), называются смешанными стратегиями первого и второго игроков, соответственно. Математическое ожидание называется функцией выигрыша первого игрока в игре без седловой точки.

Стратегии с номерами , в связи с этим будут называться в дальнейшем чистыми.

Множества смешанных стратегий первого и второго игроков будем обозначать всюду через , соответственно.

Согласно определению 1.2

, (1.3)

. (1.4)

Таким образом, множества являются замкнутыми ограниченными

многогранными. При , например, множество представляет собой треугольник, вырезанный координатными плоскостями из плоскости, проходящей через точки (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) и лежащий в положительном октанте.

Заметим, что множества определяются только размерностью игровой матрицы и одинаковы для всех игр с одинаковой размерностью игровых матриц.

Заметим также, что любую чистую стратегию можно рассматривать, как смешанную стратегию , в которой единица стоит на -ом месте. Это означает, что при повторении партий первый игрок будет выбирать свою чистую стратегию с номером с вероятностью, равной единице, т.е.постоянно. Аналогичное замечание касается и чистых стратегий второго игрока.

Поскольку теперь функция выигрыша первого игрока определяется формулой (1,2), где – смешанные стратегии первого и второго игроков, то, перенося необходимые в дальнейшем определения и результаты пособия , сформулируем их в следующем виде.

Определение 1.3. Седловая точка функции является решением матричной игры Г, определенной матрицей , и будет называться решением игры Г в смешанных стратегиях.

Первая (вторая) - мерная ( -мерная) координата седловой точки функции называется оптимальной смешанной стратегией первого (второго) игрока, а число – ценой игры Г.

Таким образом, если – оптимальные смешанные стратегии игроков, то означает вероятность, а в реальной игре частоту, с которой первый игрок должен выбирать свою чистую -ю стратегию, а – вероятность или частоту, с которой второй игрок должен выбирать свою -ю чистую стратегию, при таких выборах математическим ожиданием выигрыша для первого игрока будет число .

Чуть позже, будет показано, что функция для любой матрицы имеет седловую точку. Поэтому из теоремы 1.4.2 напомним только следующее утверждение.

Если является седловой точкой функции , то

.