1.2. Медиана
Ранее рассматривался пример, в котором среднее арифметическое плохо характеризует состояние с заработной платой на предприятии. Средний арифметический заработок оказался слишком высоким для работников предприятия. Более правильную картину даст то значение, которое делит данные на две равные части. Таким значением является медиана.
Медиана (обозначается Мd или Ме) – это значение, которое делит упорядоченное множество данных пополам, так что одна половина значений оказывается больше медианы, а другая – меньше.
При нахождении медианы дискретного вариационного ряда следует различать два случая:
объем совокупности нечетный;
объем совокупности четный.
Если объем совокупности нечетный и равен 2n + 1, и варианты размещены в порядке возрастания их значений:
то Me = xn + 1.
Если же количество элементов четное и равно 2n, то нет варианты, которая бы делила совокупность на две равные по объему части:
Поэтому в качестве медианы условно берется полусумма вариант, находящихся в середине вариационного ряда:
Ранее рассматривался пример с зарплатой работников некоторой фирмы, в которой работает 20 человек, зарплата 19 из них составляет 10 000 рублей, а зарплата 20-го, руководителя, - 1 000 000 рублей. Как мы видели, средняя зарплата одного работника на этой фирме составляет 59 500 рублей. Среднее арифметическое явилось в данном случае плохой мерой центральной тенденции. Медиана данной совокупности равна 10 000 рублей. Она лучше характеризует совокупность, состоящую из размеров зарплат работников фирмы.
Медиана обладает следующим важным свойством: Сумма модулей отклонений вариант признака от медианы не больше суммы модулей отклонений от любого другого числа:
В случае нечетного объема совокупности при a ≠ Me имеет место строгое неравенство, а в случае четного равенство имеет место для любого значения a, находящегося между двумя средними значениями xl и xl+1 и только при этих значениях.
1.3. Мода
Мода - это такое значение признака, которое встречается наиболее часто. В случае дискретных рядов вычислить моду нетрудно. Достаточно найти варианту, которая имеет наибольшую частоту или относительную частоту, это и будет мода. Будем обозначать моду символом Мо.
1) Если все значения в группе встречаются одинаково часто, то мода отсутствует.
Например:
2) Когда два соседних значения имеют одинаковые частоты и они больше частоты любого другого значения, мода есть среднее этих двух значений.
Например:
3) Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты и они больше частот любого другого значения, то существуют две моды. В этом случае говорят, что группа оценок является бимодальной.
Например:
Наибольшей модой в группе называется единственное значение, удовлетворяющее определению моды. Однако во всей группе может быть несколько меньших мод. Эти моды представляют собой локальные максимумы распределения частот.
Следует осторожно относиться к использованию моды для характеристики степени центрирования данных. Например, пусть в классе, в котором 22 учащихся, выполняется тест, состоящий из 25 заданий. На тестирование явилось 20 человек, двое не явились; все тестировавшиеся показали различные результаты. Модой является результат "не явился". Конечно, этот результат является плохой характеристикой результатов тестирования.