1.Визначник (детермінант) матриці, алгоритм його обчислення.

Теорема. Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) цієї матриці на їх алгебраїчні доповнення.

Визначник можна обчислити за допомогою елементарних перетворень привести матрицю до трикутного виду, а потім перемножити елементи, які стоять на головній діагоналі,

Властивість

Визначник не змінюється при транспортуванні.

Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то йго знак змінюється на протилежний.

Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то і визначник помножиться на С.

Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Якщо всі елементи будь якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то визначник бкде дорівнювати сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок в першому визначнику і другий доданок в другому визначнику.

Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи будь-якого іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.

2.Вивід диференціального рівняння теплопровідності.

Розглянемо однорідний стержень довжини l. Будемо вважати, що бічна сторона стержня теплопроникна та що в усіх точках поперечного січення стержня температура однакова. Дослідимо процес розповсюдження тепла в стержні.

Розмістимо вісь 0Х так, що один кінець стержня буде співпадати з точкою х=0, а другий – з точкою х=l (див. рис.). Нехай u(x,t) – температура в січній стержня з абсцисой х в момент t. Дослідним шляхом визначимо, що швидкість розповсюдження тепла пролягаючого через січну з абсцисой х за одиницю часу, визначається формулою

(1)

розглянем елемент стержня, заключений між січними з абсцисами х₁ і х₂ (х₂-х₁=х). Кількість тепла, що пройшло через січну з абсцисою х₁ за час t, буде рівно

(2)

те ж саме для січної з абсцисою х₂

(3)

Прилив тепла Q₁-Q₂ в елемент стержня за час t буде рівний:

(4)

(Ми використали теорему Лагранжа до рівності ).

Цей прилив тепла за час t пішов на підвищення температури елемента стержня на величину U:

Q₁-Q₂=cqxSU

(5)

де с – теплоємність речовини стержня, q – щільність речовини стержня (qxS – маса елемента стержня).

Прирівнюючи вирази (4) і (5) одної і тої ж кількості тепла Q₁-Q₂, вийде:

або .

Позначаючи k/cq=a², ми одержуєм:

(6)

Це і є рівняння теплопровідності в однорідному стержні.

Щоб рішення рівняння (6) було повністю визначено, функція u(x,t) має задовільняти крайові умови. Крайові умови для рішення рівняння (6) можуть бути різні. Умови, які відповідають так званій першій крайовій задачі для 0tT, слідуючі:

u(x,t)=(x) (7)

u(x,t)=₁(t) (8)

u(x,t)=₂(t) (9)

Фізичні умови (7) (початкові умови) відповідають тому, що при t=0 в різних січних стержня задана температура, рівна (х). Умови (8) і (9) (граничні умови) відповідають тому, що на кінцях стержня при х=0 і при х=l підтримується температура, рівна ₁(t) і ₂(t) відповідно.

11

11.1.Матриця. Основні види матриць. Транспонована матриця, рівні матриці. Основні дії над матрицями.

Означення: Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпчиків. Їх позначають великими літерами A,B,C

Типи матрець:

1.Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю називається одиничною матрецею.

2.Якщо всі елементи матриці, що знаходяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця назівається трикутною.

3.Якщо візначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою або невиродженою.

4.Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особліва або вироджена.

5. Матрицю розміром усі елементи якої нулі, звуть нульовою матрицею

6. Матрицю розміром 1-n звуть матрицею-рядком (рядком) завдовжки n

7. Матрицю розміром m-1 звуть матрицею-стовпцем (стовпцем) заввишки m

Дії над матрицями.

Сумою матрець одного порядку і називається матриця C=A+B; будь-який елемент, який дорівнює сумі відповідних елементів матриць A і B: .

Добуток матриці на деяке число a називається така матриця С , кожен елемент якої одержується множенням відповідних елементів матриці A на a,

Суми матрець і добутку матрець виконуються рівності:

A+B=B+A; 2. aA=Aa 3. a(A+B)=aA+aB 4. (a+b)A=aA+bA 5. a(bA)=(ab)A

Матриця А* називається транспонованою до матриці А , якщо стовпці матриці А являються рядками матриці А*