2.Поняття про числові методи математичної статистики.

9

9.1.Метод половинного ділення в задачі уточнення кореня нелінійного рівняння. Абсолютна похибка методу.

Нехай задане рівняння і відокремлено простий корінь, тобто знайдено такий відрізок , що корінь . Відрізок називається інтервалом невизначеності.

Процедура уточнення положення кореня полягає в побудові вкладених один в один відрізків, кожен з яких містить в собі корінь рівняння. Для цього знаходиться середина поточного інтервалу невизначеності і в якості наступного інтервалу невизначеності вибирається той, на кінцях якого має різні знаки. Процес завершується, коли довжина інтервалу стає меншою за задану величину , що задає точність знаходження кореня

Алгоритм знаходження кореня методом половинного ділення

Знайти - початковий інтервал невизначеності. Покласти .

Знайти середину поточного інтервалу ;

Якщо то покласти ;

Якщо то покласти ;

В результаті отримаємо наступний інтервал невизначеності ;

Якщо то процес завершується і

Якщо то переходимо до 2) , де .

«+» методу: 1) дозволяє знайти простий корінь для будь-якої функції.

2) стійкий до похибок округлення.

«-» методу: 1) не застосовний для знаходження кратних коренів.

2) великий об’єм обчислень.

3) повільно збігається.

Похибка методу: знайти значеня кореня з точністю ε>0 в результаті ітераційного процесу ми добиваємося що

аn-bn=(b-a)/2^n<ε

9.2.Початкові та граничні умови для рівнянь в частинних похідних (на прикладі рівняння теплопровідності).

Початкова умова: U(x,0) = g(x) – температура стержня в початковий момент часу

Граничны умови:

U(0,t) = f1(t) – температура стержня на початку стержня

U(l,t) = f1(t) – температура стержня на кінці стержня

8

8.1.Формула ейлера та її розв’язок з розкладами в ряди функцій sinx та cjsx.

Формула Ейлера названа на честь Леонардо Ейлера, який її ввів, і пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями. Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа x виконується наступна рівність:

де е – основа натурального логарифма,

і – уявна одиниця.

Розклад ф-ції в ряд:

За допомогою формули Ейлера можна визначити функції sin та cos наступним чином:

Доказати формулу Ейлера досить просто. Розкладемо функцію e^ix в ряд Тейлора по степенях x. Отримаємо:

Тому

8.2.Використання в задачах диференціювання інтерполяційних многочленів.

Задача наближення функцій виникає при розв’язанні багатьох задач ( обробка експериментальних даних, чисельне диференціювання та інтегрування функцій, розв’язання диференціальних та інтегральних рівнянь).

Дуже зручною у використанні на практиці функцією є многочлен. Щоб задати многочлен, треба задати тільки скінченну кількість його коефіцієнтів. Значення многочлена просто обчислюються (згадаємо схему Горнера), його легко продиференціювати, проінтегрувати і т.і. Тому алгебраїчні многочлени знайшли широке застосування для наближення (апроксимації) функцій.

Розглянемо декілька задач наближення функцій.

Постановка задачі інтерполяції. Нехай відомі значення деякої функції у різних точках які позначимо

Виникає задача поновлення ( наближеного) функції у довільній точці .

Іноді відомо, що наближену функцію доцільно шукати у вигляді де вигляд функції відомий, а параметри треба визначити. Коли параметри визначаються з умови збігу і наближеної функції у точках тобто то такий спосіб наближення називається інтерполяцією. Точки називаються вузлами інтерполяції. Серед способів інтерполяції найбільш поширеним є випадок лінійної інтерполяції .

де - деякі відомі функції. Значення коефіцієнтів визначаються з умови збігу з вихідною функцією у вузлах інтерполяції

(1)

тобто з системи n +1 лінійних рівнянь з n+1 невідомими

У окремому випадку, коли

(2)

тобто інтерполяція здійснюється многочленом, який називається інтерполяційним.

ТЕОРЕМА. Якщо вузли интерполяції різні, то існує єдиний інтерполяційний многочлен n-го ступеню.

Доведення . Дійсно, система рівнянь (1) у цьому випадку має вигляд

(3)

Її визначник є визначником Вандермонда

(4)

У тому, що має місце права частина рівності (4) , можна переконатися наступним чином.

Віднімаючи перший рядок з усіх наступних, маємо

Віднімаючи тепер з кожного стовпця попередній, що множиться на одержуємо

де

теж є визначником Вандермонда, порядок якого на одиницю менше порядку попереднього.

Зробивши з ним те ж, що з попереднім, одержимо

Продовжуючи аналогічні викладки остаточно одержимо рівність (4).

Бачимо, що при Тобто система (3) має єдиний розв’язок. Теорема доведена.

Таким чином, інтерполяційний поліном можна одержати шляхом розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3).

10