6.2..Метод сіток для рівнянь диференціального рівняння в частинних похідних параболічного типу (на прикладі рівняння теплопровідності).
У методі сіток в області, що розглядається, вводиться безліч точок, які утворюють просторову сітку з вузлами в цих точках. Необхідно, щоб положення точок сітки було зафіксовано в просторі, тобто відповідно до ейлеревої форми запису рівнянь моделі в якості незалежних змінних вибираються просторові координати і час. На основі значень залежних змінних у вузлах сітки і для дискретних кроків за часом будуються наближені вираження для похідних, що містяться в рівняннях. Прийняті наближення для похідних, що формуються за допомогою різниць залежних змінних на скінчених просторових і тимчасових кроках, використовуються потім для побудови системи алгебраїчних рівнянь, які апроксимують розглянуту систему рівнянь у частинних похідних. З цієї причини такий підхід називається скінчено-різницевим методом. Вважається, що ця алгебраїчна система виконується в кожному внутрішньому вузлі сітки, яка покриває область розв’язання. У початковий момент і в точках просторової границі визначаються додаткові умови чи рівняння, які апроксимують початкові і граничні умови, що випливають з фізичної постановки задачі. У процесі розв’язання отриманої у такий спосіб системи алгебраїчних рівнянь, обчислюються значення залежних змінних для наступних моментів часу у вузлах просторової сітки.
7
7.1.Задачі наближення функцій (експеремнтальних даних) та використання результатів наближень.
Задачі наближення функцій займають провідне місце в прикладній математиці. Існує думка, що практично всі прикладні задачі - це задачі теорії наближення функцій (ТНФ). Це означає, що зрештою ці задачі зводяться до визначення функцій, які добре описують процес і легко обчислюються. Способи побудови таких функцій специфічні для різних застосувань математики.
В першу чергу до застосувань ТНФ належать задачі апроксимації спеціальних та елементарних функцій, які важко обчислювати. Наприклад, інтегральний синус, функції Бесселя, тригонометричні та обернені тригонометричні функції, логарифмічна і показникова функції і т.п.
Важливу роль відіграють методи ТНФ в задачах відновлення, які часто виникають в різних прикладних науках: метеорології, геології, топографії і т.п. Задача відновлення полягає в тому, що функція відома на деякій множині точок і треба розробити алгоритм наближеного обчислення функції на більш широкій множині точок. Ці задачі розв’язують за допомогою інтерполяційних методів.
Важко перебільшити значення ТНФ для розробки методів комп’ютерної графіки. Завдяки бурхливому розвитку методу скінченних елементів (МСЕ) в ТНФ і алгоритмах комп’ютерної графіки для наближеного подання функцій (кривих і поверхонь) вже майже 50 років широко використовують кусково-поліноміальні функції одного і багатьох змінних. При цьому в залежності від задачі і бажаної простоти алгоритму користуються кусково-поліноміальними апроксимаціями з різними вимогами гладкості в місцях стиковки поліномів. Підвищений інтерес фахівців саме до поліномів пояснюється не тільки історичними традиціями інтерполяції функцій одного аргументу. Перш за все це привабливі інтерполяційні та обчислювальні властивості поліномів, а також можливість узагальнення для функцій з двома та трьома аргументами.
Наближення функцій багатьох змінних значно складніше, ніж функцій однієї змінної. Це зумовлено не тільки зростанням вимірності задачі, але і низкою принципових труднощів [1]. Саме тому в МСЕ від моменту його виникнення (1943 р.) до появи серендипових елементів (1968 р.) фахівці використовували виключно лагранжеві поліноми в 2D і 3D, які будуються як добуток одновимірних поліномів Лагранжа. При цьому всередині СЕ з’являються «зайві» внутрішні вузли, які лише збільшують обсяг обчислень. Міжелементну неперервність гарантують вузли на контурі СЕ, тому внутрішні вузли лагранжевої інтерполяції можна вилучити, щоб зменшити порядок розв’язувальної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. В результаті винахідливої селекції з’явилися перші корисні елементи серендипової сім’ї. Ці елементи більш ефективні з обчислювальної точки зору, але дуже погано піддаються будь-якій формалізації [2].
Особливе значення серендипових СЕ полягає в тому, що при їх конструюванні і дослідженні були знайдені нові ефективні методи, які дали можливість виявити «приховані» параметри інтерполяції. Вперше було доведено, що на відміну від лагранжевих елементів на серендипових елементах існує безліч розв’язків задачі наближення функцій поліномами.
Інтерполяція — в обчислювальній математиці спосіб знаходження проміжних значень величини за наявним дискретному наборі відомих значень.
Багатьом із тих, хто стикається з науковими та інженерними розрахунками часто доводиться оперувати наборами значень, отриманих експериментальним шляхом чи методом випадкової вибірки. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати функцію, зі значеннями якої могли б з високою точністю збігатися інші отримувані значення. Така задача називається апроксимацією кривої. Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через наявні точки даних.
Існує також близька до інтерполяції задача, що полягає в апроксимації якої-небудь складної функції іншою, більш простою функцією. Якщо деяка функція занадто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити її значення в декількох точках, а по них побудувати, тобто інтерполювати, більш просту функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції не дозволяє одержати такий ж точні результати, які давала б початкова функція. Але, для деяких класів задач, досягнутий виграш у простоті і швидкості обчислень може переважити отриманий огріх у результатах.
Варто також згадати і зовсім інший різновид математичної інтерполяції, відому за назвою «інтерполяція операторів». До класичних робіт по інтерполяції операторів відносяться теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) і теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), що є основою для багатьох інших робіт.
Визначення
Нехай маємо n значень xі, кожному з який відповідає своє значення yі. Потрібно знайти таку функцію F, що:
При цьому:
хі називають вузлами інтерполяції
пари (xі, yі) називають точками даних чи базовими точками
різницю між «сусідніми» значеннями xі-xі-1 — кроком
функцію F (x) — функцією, що інтерполює чи інтерполянтом.