5.1.Складання математичної таблиці для значень функції . Реалізація методу складання математичної таблиці для значень функції в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

Для виведення математичних таблиць використовують формулу Тейлора. Для цього потрібно розкласти функцію в ряд Тейлора. Нижче наведено приклад для функції sinx:

5.2.Проблеми вибору апроксимуючих функцій. Похибка апроксимації.

Апроксима́ція (лат. approximare — наближати) — наближене вираження одних математичних об'єктів іншими, простішими, напр. кривих ліній — ламаними, ірраціональних чисел — раціональними, неперервних функцій — многочленами і т. д

Однією із задач, які розвязує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функції однієї змінної та багатьох дійсних змінних іншими функціями більш простої, взагалі кажучи будови, які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі – апроксимування функції. Ця задача може постати, наприклад, у випадку, коли або функція задана своїми значеннями у вигляді таблиці результатів експерименту, або коли функція має складну аналітичну будову і знаходження її значення у деяких точках викликає обчислювальні труднощі. Так, зокрема, всі широко вживані на практиці функції sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), ch(x), sh(x) та багато інших визначаються при обчисленнях на ЕОМ за допомогою функціональних рядів або ланцюгових дробів.

В останні роки різко зріс інтерес до класичних методів раціональної апроксимації функцій. Це повязано з тим, що такі апроксимації знайшли різноманітне застосування в обчислювальних задачах теоретичної фізики та механіки.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

аналитический

графический

табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.

А

φ(х)

ппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

φ(х)- аппроксимирующая функция.

6

6.1.Метод січних (хорд) розв’язку (знаходження коренів) нелінійних рівнянь. Метод простих ітерацій. Приклад.

Метод січних

Однією з головних проблем при застосуванні методу Ньютона є необхідність аналітичного опису похідної. Якщо це складно чи неможливо, то можна застосувати її наближену оцінку (рисунок 2). Тоді замість методу дотичних застосовується метод січних, за яким де - наближена оцінка похідної, що розглядається як січна, а не як дотична, і може бути оцінена за формулою Чи де h — деякий невеликий крок.

Алгоритм цього методу подібний методу Ньютона, але з іншою ітераційною формулою.

Рис. 2. Метод січних Метод простої ітерації

Метод простої ітерації застосовується до розв’язування нелінійного рівняння виду . (7) Перейти від рівняння (1) до рівняння(7) можна багатьма способами, наприклад, вибравши , де  довільна знакостала неперервна функція.

Вибравши нульове наближення x₀, наступні наближення знаходяться за формулою . (9) Наведемо достатні умови збіжності методу простої ітерації.

Теорема 1. Нехай для вибраного початкового наближення x₀ на проміжку (10) функція (x) задовольняє умові Ліпшиця (11) де 0<q<1, і виконується нерівність

. (12) Тоді рівняння (7) має на проміжку S єдиний корінь , до якого збігається послідовність (9), причому швидкість збіжності визначається нерівністю . (13)

Зауваження: якщо функція (x) має на проміжку S неперервну похідну , яка задовольняє умові , то функція (x) буде задовольняти умові (11) теореми 1.

З (13) можна отримати оцінку кількості ітерацій. які потрібно провести для знаходження розв’язку задачі (7) з наперед заданою точністю :

(15) Наведемо ще одну оцінку. що характеризує збіжність методу простої ітерації: . (16)