24.1.Ряд Тейлора для функції однієї змінної на основі її ряду Тейлора. Приклад.

Пусть функция f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывные производные до n-1 - го порядка, а в интервале (a,b) - существует n - ая производная функции f (x), тогда для любых x₀ и x из [a,b] существует такая точка ξ, лежащая между точками х₀ и х, что

	Выражение

называется многочленом Тейлора степени n-1 для функции f(x) в окрестности точки x₀.

Выражение R_n(ξ,x) называют остаточным членом формулы Тейлора.

24.2.Постановка задачі чисельного інтегрування функцій. Квадратурні формули прямокутників, трапецій, Симсона. Похибки чисельного інтегрування.

Дамо означення інтегралу. Нехай на відрізку задана функція . За допомогою точок розіб’ємо відрізок на п елементарних відрізків ( ), причому . На кожному з цих відрізків виберемо довільну точку ( ) та знайдемо добуток значення функції в цій точці на довжину елементарного відрізка :

. (1) Складемо суму всіх таких добутків:

. (2)

Сума називається інтегральною сумою. Означеним інтегралом від функції на відрізку називається границя інтегральної суми при необмеженому збільшенні кількості точок розбиття; при цьому довжина найбільшого з елементарних відрізків прямує до нуля:

. (3)

В багатьох випадках, коли підінтегральна функція задана в аналітичному вигляді, означений інтеграл вдається визначити безпосередньо за допомогою невизначеного інтеграла (вірніше, первісної) за формулою Ньютона-Лейбніца. Вона полягає в тому, що означений інтеграл дорівнює приросту первісної на відрізку інтегрування: .

Але на практиці цією формулою часто не можна скористатися внаслідок основних причин: Аналітичний вигляд функції не дозволяє безпосередньо провести інтегрування згідно (4), оскільки первісну неможливо виразити через елементарні функції.

Значення функції задані лише на фіксованій скінченій множині точок , тобто функція задана у вигляді таблиці і є дискретною.

У цих випадках використовують методи чисельного інтегрування. Вони основані на інтерполяції підінтегральної функції деяким більш простішим виразом, наприклад многочленами.

Метод прямокутників

Найпростішим методом чисельного інтегрування є метод прямокутників. В ньому здійснюється заміна означеного інтеграла інтегральною сумою. За точки можуть вибиратися ліві ( ) або праві ( ) границі елементарних відрізків. Позначивши , , отримаємо наступні формули метода прямокутників відповідно до цих двох випадків:

, (5) . (6)

Широко поширеним та найбільш точним є вигляд формули прямокутників, що використовує значення функції в середніх точках елементарних відрізків (метод середніх прямокутників):

, (7)

Метод трапецій Метод трапецій використовує лінійну інтерполяцію, тобто графік функції подається у вигляді ламаної, що з’єднує точки . В цьому випадку площа всієї фігури (криволінійної трапеції) складається з площ елементарних прямолінійних трапецій. Площа кожної такої трапеції рівна: . Додаючи всі ці рівності, отримуємо формулу трапецій для чисельного інтегрування:

. (8) Важливим частинним випадком розглянутих формул є їх застосування при чисельному інтегруванні з постійним кроком ( ). Формули прямокутників і трапецій в цьому випадку приймають відповідно вигляд

(9) (10)

Метод парабол (метод Сімпсона)

Розіб’ємо відрізок інтегрування на парне число рівних частин з кроком . На кожному відрізку , , ... , , ... , підінтегральну функцію замінимо інтерполяційним многочленом другого степеня:

.

Коефіцієнти цих квадратних тричленів можуть бути знайдені з умов рівності многочлена в точках відповідним табличним даним . За можна прийняти інтерполяційний многочлен Лагранжа другого степеня, що проходить через точки , , :

.

Елементарна площа може бути знайдена за допомогою означеного інтеграла. Враховуючи рівність , отримаємо

.

Провівши такі розрахунки для кожного елементарного відрізку , просумуємо отримані вирази:

.

Дані вирази для приймається за значення означеного інтегралу:

. (11)

Отримане співвідношення називається формулою Сімпсона.