22.1.Метод Ньютона розв’язку (знаходження коренів) нелінійних рівнянь. Спрощений метод Ньютона.

Розглянемо задачу знаходження коренів рівняння , де  задана функція дійсного змінного.

Розв’язування даної задачі можна розкласти на декілька етапів:

а) досліджена розташування коренів (в загальному випадку на комплексній площині) та їх кратність;

б) відділення коренів, тобто виділення областей, що містять тільки один корінь;

в) обчислення кореня з заданою точністю за допомогою одного з ітераційних алгоритмів.

Далі розглядаються ітераційні процеси, що дають можливість побудувати числову послідовність x_n, яка збігається до шуканого кореня рівняння (1).

Метод Ньютона

Метод Ньютона застосовується до розв’язування задачі (1), де f(x) є неперервно-диференційованою функцією. На початку обчислень вибирається початкове наближення x₀. Наступні наближення обчислюються за формулою

. (23)

З геометричної точки зору x_n+1 є значенням абсциси точки перетину дотичної до кривої y=f(x) в точці (x_n, f(x_n)) з віссю абсцис. Тому метод Ньютона називають також методом дотичних.

Теорема 2. Якщо не змінює знака на [a,b], то виходячи з початкового наближення , що задовольняє умові , можна обчислити методом Ньютона єдиний корінь рівняння (1) з будь-якою степінню точності.

Теорема 3. Нехай  простий дійсний корінь рівняння (1) і , де , , (24) причому . (25)

Тоді для метод Ньютона збігається, причому для похибки справедлива оцінка . (26)

З оцінки (26) видно, що метод Ньютона має квадратичну збіжність, тобто похибка на (n+1)-й ітерації пропорційна квадрату похибки на n-й ітерації.

Модифікований метод Ньютона (27)

дозволяє не обчислювати похідну на кожній ітерації, а отже і позбутися можливого ділення на нуль. Однак цей алгоритм має тільки лінійну збіжність.

Кількість ітерацій, які потрібно провести для знаходження розв’язку задачі (1) з точністю  задовольняє нерівнос . (28)

Спрощений метод Нютона

22.2.Наближені методи розв’язку крайових задач: метод коллокацій, метод найменших квадратів.

Загальна схема. Викладемо спочатку абстрактну схему, яка застосовується не тільки до крайовим завданням для звичайних диференціальних рівнянь, але і до багатьох інших завдань.Нехай E і H - два лінійних нескінченновимірних нормованих простору. Припустимо, що в E і H є базиси в наступному сенсі: існують послідовності {eⁿ}^∞_n=1⊂ E и {hⁿ}^∞_n=1⊂ H такі, що для будь-яких x ∈ E і y ∈ H знайдуться числові послідовності {αⁿ} и {βⁿ} такі, що

x =

∞ ∑ n = 1

αnen,   y =

∞ ∑ n = 1

βnhn

(Під сумою рядів ми, як звичайно, розуміємо межа (за нормою простору E або H, відповідно) часткових сум цих рядів). Нехай F: E → H. Розглянемо задачу про знаходження розв'язку рівняння F (x) = 0 (1) тобто завдання про знаходження такої точки x ∈ E, яка оператором F переводиться в нуль (простору H). Нехай Ek і Hk - підпростори E і H, натягнуті на перші k векторів базисів  {eⁿ} і {hⁿ}, відповідно, а P_k і Q_k- будь-які проектори на ці підпростори. Суть проекційних методів рішення задачі виду (1) полягає в заміні рівняння (1) наближеним скінченновимірних рівнянням Fk (x) = 0, x ∈ Ek, (2) де Fk: Ek → Hk, визначається формулою Fk = QkF, тобто завданням про знаходження точки з Ek ("спроектованого" простору E: Eh = PhE), що задовольняє "спроектованому" на Hk рівняння. Іншими словами, потрібно знайти таку точку x ∈ E, що в розкладі її по базису (en) все "координати", починаючи з (k +1)-й, звертаються в нуль і такий, що перші k "координат" вектора F (x ) в базисі (hn) дорівнюють нулю. Вибір різних базисів (en) і (hn) і різних проекторів Pk і Qk призводить до різних методів.Підкреслимо, що рівняння (2) - це рівняння в скінченновимірному просторі. Всі методи, описувані нижче, якщо не обумовлено протилежне, ми будемо розглядати на прикладі найпростішої крайової задачі

x′′+ A(t)x = c(t),   t ∈ [0, T], (3) x(0) = 0,   x(T) = 0. (3) Завдання 2.4.1. Покажіть, що крайова задача для рівняння (3) з крайовими умовами x (0) = a, x (T) = b заміною змінних x (t) = y (t) - (T - t) a / T - tb / T приводиться до задачі (3) - (4) (тобто до задачі з нульовими крайовими умовами. Метод колокацій. цьому методі коефіцієнти αn в розкладанні Σkn = 1αnenприближенного рішення шукають з вимоги, щоб це наближення задовольняло диференційного рівняння (3) в заданих точках k x1, ... , Xk (званих вузлами колокацій). Очевидно, коефіцієнти αn повинні задовольняти системі k ∑ n = 1 αn[(en)′′(tl) + A(tl)en(tl)] = c(tl),   l = 1, ..., k. (6) Завдання 2.4.4. Випишіть ураненія на коефіцієнти методу колокацій для крайової задачі, що фігурує в задачі 2.4.3. При досить загальних припущеннях отриману методом колокацій наближений розв'язок Σkn = 1αnenравномерно апроксимує рішення вихідної задачі при прагненні до нуля максимальної відстані між сусідніми вузлами колокацій. Тут слід зазначити, що збіжність методу колокацій вельми сильно залежить від вибору вузлів колокацій; ситуація тут багато в чому схожа на випадок розходження послідовності інтерполяційних поліномів при невдалому виборі вузлів інтерполяції. Метод найменших квадратів. ід зазначеної сильній залежності збіжності методу колокацій від розташування вузлів колокацій дозволяє частково позбутися метод найменших квадратів, що асоціюється з найкращою квадратичним наближенням функцій так само, як метод колокацій асоціюється з інтерполяцією функцій. Суть методу найменших квадратів така. Спробуємо задовольнити рівняння методу колокацій (див. (6)) в бóльшем числі точок колокацій (бóльшем, ніж число базисних функцій, що беруть участь у наближенні рішення): k ∑ n = 1 αn[(en)′′(tl) + A(tl)en(tl)] = c(tl),   l = 1, ..., p. (7) (p> k ) У загальному випадку система рівнянь (7), на відміну від (6), не розв'язна. Тому систему (7) задовольняють в сенсі найменших квадратів: мінімізують (знаходять точку мінімуму) наступної функції: F(α) = p∑l = 1||k∑n = 1 αn[(en)′′(tl) + A(tl)en(s)] – c(tl)||2 по α. Ті значення α1, ..., αk, при яких досягається мінімум функції F (α), і визначають наближений розв'язок ∑kn=1αne вихідної крайової задачі по методу найменших квадратів.

25

25.1.Складання математичної таблиці для значень функцій sinx та cosx. Реалізація методу складання математичних таблиць для значень функцій sinx та cosx в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

25.2.Постановка задачі чисельного диференціювання. Найпростіші формули числового диференціювання: різницева, центральна різницева та друга різницева похідні. Похибки різницевої, центральної різницевої та другої різницевої похідних.

26