20.1.Способи відділення коренів нелінійних рівнянь.
Графічний спосіб полягає в побудові графіка функції y=f(x).Абсциси точок перетину кривої графіка з віссю ОХ і будуть коренями рівняння. В деяких випадках рівняння f(x)=0 зручно представити в вигляді f1(x)=f2(x), а потім побудувати графіки функцій y=f1(x) и y=f2(x). Абсциси точок перетину цих графіків будуть коренями рівняння. Таким чином неможна знайти точне значення коренів, проте можна взнати відрізки, на яких знаходяться вони
Аналітичний спосіб
При аналітичному способі відокремлення дійсних коренів необхідно враховувати наступне: якщо не кінцях відрізка [a,b] функція f(x) має різні знаки, тобто f(a)f(b)≤0, то між значеннями x=a і x=b існує непарна кількість коренів: якщо f(a)f(b)≥0 то на [a,b] є парна кількість коренів або їх немає зовсім. Якщо f(a)f(b)<0 і f'(x) не міняє знак на цьому відрізку, то рівняння має єдиний корінь на [a,b].
20.2.Реалізація числових методів розв’язку звичайних диференціальних рівнянь в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.
Не вчили, а вчили тільки різницевий. Але є ще такі методи: Ейлера, Гюна, Тейлора та Рунге-Кутта
Ф о р м у л и д л я с е р е д н і х т о ч о к :
Ф о р м у л и д л я к р а й н і х т о ч о к :
П і д с т а в л я ю ч и і 1,2:
П і д с т а в л я ю ч и h, x1,x2,y3, о т р и м у є м о :
21
21.1.Реалізація методів лінійної алгебри в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.
Ліні́йна а́лгебра — важлива частина алгебри, що вивчає вектори, векторні простори, лінійні відображення та системи лінійних рівнянь.
Тут. Дії з матрицями, розв’язування системи лінійних рівнянь.
Н е х а й н е о б х і д н о р о з в 'я з а т и т а к у С Л А Р :
Г о л о в н а м а т р и ц я с и с т е м и :
П о в н а м а т р и ц я с и с т е м и :
С т о в б е ц ь в і л ь н и х ч л е н і в :
М а т р и ч н и й м е т о д :
М е т о д Г а у с а :
М е т о д К р а м е р а :
21.2.Задача Коші та крайова задача для рівняння першого порядку та їх розв’язок різницевим методом.
Задача Коші різницевим методом
Ф о р м у л и д л я с е р е д н і х т о ч о к :
Ф о р м у л и д л я к р а й н і х т о ч о к :
П і д с т а в л я ю ч и і 1,2:
П і д с т а в л я ю ч и h, x1,x2,y3, о т р и м у є м о :
23
23.1.Реалізація методів знаходження коренів функцій однієї і багатьох змінних в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.
Методи розвязку коренів функції з однією зміннною
Find (xi,. .., Хм) - вбудована функція для вирішення системи рівнянь відносно змінних x1, ..., хM Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х. f (x) = 0, (1) наприклад, sin (x) = 0. Для вирішення таких рівнянь Mathcad має вбудовану функцію root, яка, в залежності від типу задачі, може включати або два, або чотири аргументи і, відповідно, працює дещо по-різному. root (f (х), х); root (f (х), х, а, b); f (х) - скалярна функція, яка визначає рівняння (1); х - скалярна змінна, щодо якої вирішується рівняння; а, ь - межі інтервалу, усередині якого відбувається пошук кореня. Перший тип функції root вимагає додаткового завдання початкового значення (guess value) змінної х. Для цього потрібно просто заздалегідь привласнити х деяке число. Пошук кореня проводитиметься поблизу цього числа. Таким чином, привласнення початкового значення вимагає апріорної інформації про приблизний локалізації кореня
Для функцій багатьох змінних використовуємо Minerr (x1, ..., хм) x1: = C1 ... хм: = cм - початкові значення для невідомих. Given - ключове слово. Система алгебраїчних рівнянь і нерівностей, записана логічними операторами. Minerr (x1, ..., хм) - наближений розв'язок системи щодо змінних х1; ... , Хм, що мінімізує нев'язки системи рівнянь. У функції Minerr реалізовані ті ж самі алгоритми, що і у функції Find, іншим є тільки умова завершення роботи чисельного методу. Тому користувач може тим же самим чином, за допомогою контекстного меню (див. розд. 8.4), вибирати чисельний алгоритм наближеного рішення для функції Minerr. Приклад використання функції Minerr показаний в лістингу 8.9. Як видно, досить замінити в обчислювальному блоці ім'я функції на Minerr, щоб замість точного (з точністю до TOL) отримати наближений розв'язок рівняння, заданого після ключового слова Given
2.Реалізація методів чисельного розв’язку диференціальних рівнянь в частинних похідних в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.
Таким чином, вбудовані функції Mathcad дозволяють вирішувати наступні рівняння в приватних похідних:
Еліптичні за допомогою функцій relax і multigrid - тільки двовимірне рівняння Пуассона (з крайовими умовами шляхом Діріхле або Неймана);
Коректна постановка крайової задачі для рівняння Пуассона вимагає завдання граничних умов. У Mathcad рішення шукається на плоскій квадратній області, що складається з (M +1) х (M +1) точок. Тому граничні умови повинні бути визначені користувачем для всіх чотирьох сторін згаданого квадрата. Найпростіший варіант - це нульові граничні умови, тобто постійна температура по всьому периметру розрахункової області. У такому випадку можна використовувати вбудовану функцію multigrid: multigrid (F, ncycie) - матриця рішення рівняння Пуассона розміру (м +1) х (м +1) на квадратній області з нульовими граничними умовами: F - матриця розміру (M +1) х (M +1), що задає праву частину рівняння Пуассона; ncycle - параметр чисельного алгоритму (кількість циклів у межах кожної ітерації).
У більш складних випадках, наприклад, для вирішення крайової задачі з ненульовими умовами на кордонах, слід використовувати іншу вбудовану функцію relax, наявну в Mathcad: relax (a, b, c, d, e, F, v, rjac) - матриця рішення диференціального рівняння в приватних похідних на квадратній області, отриманого за допомогою алгоритму релаксації для методу сіток: a, b, c, d, e - квадратні матриці коефіцієнтів різницевої схеми, що апроксимує диференціальне рівняння; F - квадратна матриця, що задає праву частину диференціального рівняння; v - квадратна матриця граничних умов і початкового наближення до вирішення; rjac - параметр чисельного алгоритму (спектральний радіус ітерацій Якобі); Параболічні і гіперболічні за допомогою функції pdesolve (починаючи з 11 версії) - тільки одномірні (по просторовій координаті) рівняння або системи рівнянь.
Вбудована функція pdesolve застосовується в рамках обчислювального блоку, що починається ключовим словом Given, і придатна для вирішення різних гіперболічних і параболічних рівнянь. Вона призначена для вирішення одновимірного рівняння (або системи рівнянь) в приватних похідних (того, яке визначить користувач у рамках обчислювального блоку Given), що залежить від часу t і просторової координати х, має цілий набір різних аргументів і працює наступним чином: pdesolve (u, x, xrange, t, trange, [xpts], [tpts])) - Повертає скалярних (для єдиного вихідного рівняння) або векторну (для системи рівнянь) функцію двох аргументів (x, t), що є рішенням диференційного рівняння (або системи рівнянь) у приватних похідних.Результуюча функція виходить інтерполяцією сіткової функції, що обчислюється згідно різницевої схемою: u - явно заданий вектор імен функцій (без вказівки імен аргументів), що підлягають обчисленню. Ці функції, а також граничні умови (у формі Діріхле або Неймана) повинні бути визначені користувачем перед застосуванням функції pdesolve в обчислювальному блоці після ключове слово Given. Якщо вирішується не система рівнянь в приватних похідних, а єдине рівняння, то, відповідно, вектор і повинен містити тільки одне ім'я функції і вироджується в скаляр; х - просторова координата (ім'я аргументу невідомої функції); xrange - просторовий інтервал, тобто вектор значень аргументу х для граничних умов. Цей вектор повинен складатися з двох дійсних чисел (що представляють ліву і праву межу розрахункового інтервалу); t - час (ім'я аргументу невідомої функції); t range - розрахункова тимчасова область: вектор значень аргументу t, який повинен складатися з двох дійсних чисел (що представляють ліву і праву межу розрахункового інтервалу за часом); xpts - кількість просторових точок дискретизації (може не вказуватися явно, в такому випадку буде підібрано програмою автоматично); tpts - кількість тимчасових шарів, тобто інтервалів дискретизації за часом (також може не вказуватися користувачем явно).
22