19.1.Знаходження коренів функції багатьох змінних: градієнтний метод.

1. Градієнт — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат.Для скалярного поля градієнт визначається формулою

де , , - орти системи відліку.

Це означення узагальнюється на простори будь-якої розмірності

. Градієнтні методи: функція Find Принцип дії градієнтних алгоритмів. У вбудованій функції Find реалізовано декілька градієнтних чисельних алгоритмів, один з яких може вибрати або програма Mathcad, або сам користувач. Покажемо їх основну ідею на прикладі рівняння з одним невідомим f (x)=0 для функції f(х)=х2+5х+2 графік якої показаний на мал. 5.8. Принцип градієнтних методів полягає в послідовних наближеннях до дійсного рішення рівняння, які обчислюються за допомогою похідної від f (х). Приведемо найбільш просту форму алгоритму, званого методом Ньютона: 1. За нульову ітерацію береться введене користувачем початкове значення х0=х. 2. У точці х0 методом кінцевих різниць обчислюється похідна f (x0). 3. Користуючись розкладанням Тейлора, можна замінити f (х) у околиці х0 дотичною — прямою лінією f (x)=f (x0) +f (х0)-(х-х0). 4. Визначається точка x1 у якій пряма перетинає вісь х (мал. 5.8). 5. Якщо f (x1) <TOL то ітерації уриваються, і значення x1 видається як рішення. Інакше x1 береться за нову ітерацію, і цикл повторюється: будується дотична до f (х) у точці x1 визначається х2 — точка її перетину з віссю х і так далі

. Мал. 5.8. Ілюстрація методу Ньютона

Модифікація алгоритму Ньютона для вирішення системи декількох рівнянь полягає в лінеаризації відповідних функцій багатьох змінних, тобто апроксимації їх лінійною залежністю за допомогою приватних похідних. Наприклад, для нульової ітерації у разі системи двох рівнянь використовуються вирази типу:

Щоб відшукати точку, відповідну кожній новій ітерації, потрібно прирівняти обидві рівність нулю, тобто вирішити на кожному кроці отриману систему лінійних рівнянь.

19.2.Метод сіток для рівнянь диференціального рівняння в частинних похідних еліптичного типу (на прикладі рівняння двох змінних).

Суть методу полягає в тому, що для даного диференціального рівняння

, (8.3.1)

де , - задані числа. Область зміни аргументу замінюється граткою , де , , де сегменти - область зміни аргументу. Похідні шуканої функції в диференціальному рівнянні замінюються формулами чисельного диференціювання, тобто