Разложение на множители.

Переход к элементарным симметрическим многочленам , , удобен не только для решения систем алгебраических уравнений, но и в других алгебраических задачах. В этом пункте мы рассмотрим задачи о разложении на множители.

Пусть ƒ(x, y, z) - симметрический многочлен от трех переменных. Чтобы разложить этот многочлен на множители, можно выразить его через , , и попытаться разложить на множители получившийся многочлен от , , .

Если это удастся, то, подставляя значения , , , мы получим разложение на множители исходного многочлена ƒ(x, y, z).

Рассмотрим примеры.

1. Разложить на множители многочлен

2. Разложить на множители многочлен

В силу основных формул, необходимых для решения задач, наш многочлен можно записать в виде

Указанные приемы пригодны лишь в том случае, если симметрический многочлен удается разложить на симметрические множители.

Доказательство тождеств

В целом ряде задач на доказательство тождеств с успехом могут быть применены элементарные симметрические многочлены. Рассмотрим примеры.

1. Доказать тождество

=

=

= =

= =

= =

= .

2. Доказать, что при a+b+c=0 справедливо тождество

.

Согласно таблице 3, мы имеем:

.

В этом примере нам понадобилось вычислить значение степенной суммы при условии, что . Эти значения приведены в следующей таблице:

Таблица 3

Выражения степенных сумм s_n=xⁿ+yⁿ+zⁿ через ,

_{при выполнении условия}

s1	0	s6
s2	s7
s3	s8
s4	s9
s5	s10

3. Разложить на множители многочлен

.

Полагая a=y-z, b=z-x, c=x-y, находим:

= =

(мы воспользовались формулой приведенной в таблице 3).

Неравенства

Ясно, что для любых действительных чисел x,y,z справедливо неравенство

(x-y) +(y-z) +(z-x) 0,

причем равенство достигается лишь в случае, когда x=y=z. Левая часть написанного неравенства является симметрическим многочленом от x, y, z. Раскрывая скобки, мы без труда перепишем это неравенство в виде или, используя формулы, приведенные в таблице 1

(5)

Итак, для любых действительных чисел x,y,z справедливо неравенство (5); равенство достигается лишь при x=y=z.

Из соотношения (5) можно получить целый ряд других неравенств. Рассмотрим примеры.

1. Доказать, что для любых действительных чисел a, b, c, справедливо неравенство

указанное неравенство имеет вид .

Неравенство (5) имеет вид

Полагая здесь x=ab, y=ac, z=bc, получаем:

Или

а это и есть доказываемое неравенство. (Равенство достигается лишь в случае, если a=b=c или если среди чисел a, b, c какие-либо два равны нулю.).

2. Доказать, что для любых положительных чисел a, b, c, справедливо неравенство

.

Указанное неравенство можно переписать в виде поскольку можно записать .

Так как числа a, b, c положительны, то , , . Потому неравенства , можно перемножить. Мы получаем . Сокращая на положительную величину , мы получаем требуемое неравенство .

(Равенство достигается лишь в случае, если a=b=c.).