Орбиты одночленов

Существуют одночлены, не меняющиеся при перестановках переменных, то есть симметрические. Легко видеть, что в такой одночлен все переменные должны входить в одной и той же степени, то есть этот одночлен должен совпадать с произведением x^ky^kz^k.

Если же среди показателей одночлена x^ky^lz^m имеются различные, то этот одночлен уже не будет симметрическим. Чтобы получить симметрический многочлен, один из слагаемых которого является одночлен x^ky^lz^m, надо добавить к нему другие одночлены. Многочлен с наименьшим числом членов, одним из слагаемых которого является одночлен x^ky^lz^m, назовем орбитой этого одночлена и обозначим через 0(x^ky^lz^m).

Ясно, что для получения орбиты одночлена x^ky^lz^m надо прибавить к нему одночлены, получающиеся перестановкой переменных x, y, z. Если все три показателя k, l, m различны, то орбита 0(x^ky^lz^m) будет содержать шесть членов, получающихся из одночлена x^ky^lz^m перестановками переменных. Например:

(x⁵y²z)=x⁵y²z+x⁵yz²+x²y⁵z+x²yz⁵+xy⁵z²+xy²z⁵;

(x³y)=0(x³yz⁰)=x³y+xy³+x³z+xz³+y³z+yz³.

Если же в одночлене x^ky^lz^m два показателя совпадают, а третий одночлен от них, скажем k=l (но k m), то перестановка переменных x, y не меняет одночлена x^ky^lz^m. В этом случае орбита содержит только три члена:

(x^ky^lz^m)=x^ky^kz^m+x^ky^mz^k+x^my^kz^k

(m k). Например,

(xyz⁵)=xyz⁵+xy⁵z+x⁵yz,

(xy)=xy+xz+yz,

(x³y³)=x³y³+x³z³+y³z³.

Частными случаями таких орбит являются степенные суммы:

(x^k)=0(x^ky⁰z⁰)=x^k+y^k+z^k=s_k.

Наконец, если k=l=m, то орбита является одночленом:

(x^ky^kz^k)=x^ky^kz^k.

Теперь покажем, что орбита любого одночлена выражается через и степенные суммы. А так как любая степенная сумма выражается через , , , то отсюда будет следовать, что орбита любого одночлена выражается через , , . Это будет вторым шагом в доказательстве основной теоремы.

Если одночлен x^ky^lz^m зависит только от одного переменного x (то есть l=m=0), наше утверждение очевидно: в этом случае орбита 0(x^k)=s_k сама является степенной суммой.

Перейдем к случаю, когда одночлен зависит от двух переменных, то есть имеет вид x^ky^l. Если k l, то имеет место формула

0(x^ky^l)=0(x^k)0(x^l)-0(x^k+l) (k l). (2)

В самом деле,

(x^k)0(x^l)-0(x^k⁺^l)=(x^k+y^k+z^k)(x^l+y^l+z^l)-(x^k⁺^l+y^k⁺^l+z^k⁺^l)=

=(x^k⁺^l+y^k⁺^l+z^k⁺^l+x^ky^l+x^ly^k+x^kz^l+x^lz^k+y^kz^l+y^lz^k)-(x^k⁺^l+y^k⁺^l+z^k⁺^l)=

=x^ky^l+x^ly^k+x^kz^l+x^lz^k+y^kz^l+y^lz^k=0(x^ky^l).

Если же k=l, то формула (2) заменяется следующей:

(x^ky^k)= ((0(x^k))²-0(x²^k). (3)

Справедливость формулы (3) также устанавливается непосредственной проверкой.

Наконец, если одночлен x^ky^lz^m зависит от всех трех переменных x, y, z, то одночлен x^ky^lz^m делится на некоторую степень одночлена xyz. Поэтому в многочлене 0(x^ky^lz^m) можно вынести за скобки некоторую степень одночлена xyz, после чего останется в скобках орбита некоторого одночлена, зависящего меньше чем от трех переменных x, y, z. Например,

(x²y³z⁴)=x²y³z⁴+x²y⁴z³+x³y²z⁴+x³y⁴z²+x⁴y²z³+x⁴y³z²=

(xyz)²·(yz²+y²z+xz²+xy²+x²z+x²y)=(xyz)²·0(x²z),

(x³y⁵z⁵)= x³y⁵z⁵+x⁵y³z⁵+x⁵y⁵z³=(xyz)³·(y²z²+x²z²+x²y²)=(xyz)³·0(x²y²)

и т. п. Вообще, если, например, k m, l m, то

(x^ky^lz^m)=(xyz)^m·0(x^k^-^my^l^-^m)= ·0(x^k^-^my^l^-^m). (4)

Итак, если одночлен x^ky^lz^m зависит только от одного переменного, то орбита 0(x^ky^lz^m) является степенной суммой; если он зависит от двух переменных, то орбита 0(x^ky^lz^m) выражается через степенные суммы; наконец, случай, когда этот одночлен зависит от всех трех переменных x, y, z, сводится к предыдущим, если в многочлене 0(x^ky^lz^m) вынести за скобки общий множитель всех его членов. Легко видеть, что орбита любого одночлена выражается через и степенные суммы.

Приведенное выше доказательство также конструктивно: мы не только доказали возможность выразить каждую орбиту одночлена через , , , но и получили вполне определенный алгоритм, позволяющий для любой конкретно заданной орбиты найти ее выражение через , , . Основой этого алгоритма служат формулы (2), (3), (4) и найденное ранее выражение степенных сумм через , , .

Например,

(x²y²)= (0(x²)²-0(x⁴))= (s₂²-s₄)= (( )²-( )= -2 (здесь мы применили формулу (3));