Основная теорема о симметрических многочленах от нескольких переменных

Точно так же как и в случае трех переменных, любой симметрический многочлен от n переменных можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов , ,…, . Точнее говоря, имеем следующее утверждение.

Пусть ƒ(x₁, x₂,…, x_n) - симметрический многочлен от n переменных. Тогда существует такой многочлен , что если подставить в него вместо , ,…, их выражения через x₁, x₂,…, x_n, то есть

то получится многочлен, тождественно равный ƒ(x₁, x₂,…, x_n). Многочлен , обладающий указанным свойством, существует только один.

Эта теорема доказывается примерно так же, как и в случае многочленов от трех переменных, но с некоторыми усложнениями, вызванными увеличением числа переменных.

Именно, сначала доказывают, что любая степенная сумма может быть выражена через элементарные симметрические многочлены. После этого доказывают, что орбита любого одночлена, содержащего k переменных, выражается через орбиты одночленов от меньшего числа переменных и, в конце концов, - через степенные суммы. Наконец, любой симметрический многочлен от n переменных разлагают на орбиты одночленов. Однако при проведении такого доказательства неудобно использовать те орбиты, которые были определены выше, а следует применять полные орбиты. Именно, если в одночлене все показатели k₁, k₂,…, k_n различны, то орбита 0( ) содержит n! членов, получающихся из рассмотренного одночлена всевозможными перестановками переменных x₁,x₂,…,x_n. Выпишем это выражение орбиты 0( ) и назовем его полной орбитой одночлена . Полную орбиту 0_П( ) мы будем рассматривать не только в случае различных показателей k₁, k₂,…, k_n (когда она совпадает с обычной орбитой), но и в случае любых показателей. В любом случае полная орбита 0_П( ) отличается от обычной орбиты 0( ) лишь числовым множителем, который легко найти, зная, что при любых показателях k₁, k₂,…, k_n сумма коэффициентов в полной орбите равна n!. Именно, если среди показателей k₁, k₂,…, k_n имеется n₁ совпадающих между собой, затем n₂ совпадающих показателей, отличных от первых, и так далее, вплоть до последней группы n_l равных между собой показателей, то

_П( )=n₁!n₂!...n_l!0( ).

Мы не будем давать детального доказательства теоремы. Укажем те основные формулы, которые используются в этом доказательстве:

(9)

(в этой формуле слагаемые , у которых i>n, считаются равными нулю),

_П(x₁^kx₂^l)=(n-2)!(s_ks_l-s_k+l),

(n-2)0_П(x₁^kx₂^lx₃^m)=0_П(x₁^kx₂^l)s_m-0_П(x₁^k+mx₂^l)-0_П(x₁^kx₂^l+m)

и так далее

Вообще, для любых показателей k₁,…, k_r+1 справедливо соотношение

(n-r)0_П( )=0_П( ) -=0_П( )-

_П( )-…-0_П( ).

Выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены

Формула (9) дает возможность последовательно, одну за другой, вычислять степенные суммы s_k точно так же, как и в случае многочленов от двух или трех переменных. Формула эта справедлива для любого числа переменных; надо только помнить, что если рассматриваются многочлены от n переменных, то в формуле (9) должны быть вычеркнуты все члены, содержащие выражения с индексами i, большими чем n. Благодаря такому соглашению мы можем последовательно вычислять степенные суммы s_k, и получающиеся формулы годятся для многочленов от любого числа переменных. Именно, выпишем соотношение (9) для значений k=1, 2,…:

s₁=1· ;

s₂=

s₃= ;

s₄=

s₅= ;

s₆= ;

Из этих формул мы последовательно находим значения степенных сумм:

s₁= ;

s₂= ;

s₃= ;

s₄= ;

s₅= ;

s₆= ;

Как и формула (9), эти выражения степенных сумм справедливы для любого числа переменных; надо только помнить, что если рассматриваются многочлены от n переменных, то в этих соотношениях должны быть вычеркнуты все члены, содержащие обозначения с индексами i, большими чем n. Например, если в этих формулах вычеркнуть все члены, содержащие , , ,…, то мы получим выражения степенных сумм от трех переменных, то есть получим формулы, приведенные в таблице 1. Если же мы вычеркнем еще и члены, содержащие , то получим выражения степенных сумм от двух переменных и так далее

Формула Варинга также может быть написана для выражения степенных сумм от любого числа переменных.

Она имеет вид

;

суммирование здесь распространено на все наборы неотрицательных целых чисел, удовлетворяющие условию

,

а символу 0!, если он встречается, приписывается значение 1. доказательство формулы Варинга проводится методом математической индукции на основании соотношения (9).