Симметрические многочлены от нескольких переменных Элементарные симметрические многочлены от нескольких переменных

Перейдем теперь к изучению симметрических многочленов от любого числа переменных. Основные их свойства видны уже на разобранном выше частном случае симметрического многочлена от трех переменных. Но некоторые усложнения при переходе к большему числу переменных все же возникают.

Определение симметрических многочленов в случае нескольких переменных формулируется точно так же, как и в случае трех переменных: многочлен ƒ(x₁, x₂,…, x_n) от n переменных x₁, x₂,…, x_n называется симметрическим, если он не меняется ни при какой перестановке переменных. Можно это определение сформулировать по-другому: многочлен ƒ(x₁, x₂,…, x_n)называется симметрическим, если он не меняется ни при какой перестановке переменных x₁, x₂,…, x_n. Иными словами,

ƒ(x₁, x₂,…, x_n)=ƒ( ),

где i₁, i₂,…, i_n - это те же числа 1, 2,…,n, но расположенные в любом другом порядке.

Большинство понятий, введенных в случае симметрических переменных от трех переменных таким же точно образом определяются и в общем случае. Например, степенной суммой степени k от n переменных x₁, x₂,…, x_n, называют выражение

s_k=x₁^k+x₂^k+…+x_n^k.

Далее, орбитой одночлена называют сумму всех одночленов, получаемых из перестановками переменных. Например, в случае n=4, то есть в случае четырех переменных x₁, x₂, x₃, x₄ имеем:

(x₁²x₂³)=x₁²x₂³+x₁²x₃³+x₁²x₄³+x₂²x₁³+x₂²x₃³+x₂²x₄³+x₃²x₁³+x₃²x₂³+

+x₃²x₄³+x₄²x₁³+x₄²x₂³+x₄²x₃³.

В частности,

s_k=0(x₁^k).

Для дальнейшего полезно следующее замечание: чтобы получить орбиту одночлена , можно переставлять не буквы x₁, x₂,…, x_n, а показатели . Конечно, при этом в записи одночлена надо указать и не входящие в него буквы (с нулевыми показателями). Например, одночлен x₁²x₂³, орбиту которого мы выше выписывали, следует записать в виде x₁²x₂³x₃⁰x₄⁰ и затем уже производить всевозможные перестановки показателей.

Кроме того, отметим, что орбита одночлена порождается любым из входящих в нее одночленов:

(x₁⁴x₂²x₃⁰)=0(x₁⁰x₂⁴x₃²)=0(x₁²x₂⁰x₃⁴) и так далее

Несколько сложнее определяются элементарные симметрические многочлены. Чтобы ввести соответствующее определение, вспомним, как определялись эти многочлены в случае трех переменных. Мы имели в этом случае три многочлена:

Первый из них является суммой всех переменных x₁, x₂, x₃, то есть орбитой одночлена x₁:

=0(x₁).

Второй многочлен получается из одночлена x₁x₂ путем всевозможных перестановок переменных и суммирования полученных результатов. Иными словами, он является орбитой одночлена x₁x₂:

=0(x₁x₂).

Наконец, является орбитой одночлена x₁x₂x₃ (в данном случае эта орбита состоит из одного слагаемого).

По аналогии положим для случая нескольких переменных:

=0(x₁),

=0(x₁x₂),

………………

=0(x₁x₂…x_k),

………………

=0(x₁x₂…x_n).

Из этой записи видно, что число элементарных симметрических многочленов равно числу переменных.

В развернутом виде многочлены , ,…, выглядят следующим образом. Первый из них есть просто сумма всех n переменных:

=x₁+x₂+…+x_n.

Второй многочлен есть сумма всех произведений переменных, взятых по два (при этом в произведениях сомножители располагаются в порядке возрастания значков). Таким образом,

=x₁x₂+x₁x₃+…+x₁x_n+x₂x₃+…+x₂x_n+…+x_n-1x_n,

или, короче

(знак обозначает сумму; внизу указано, что i и j меняются от 1 до n, причем в каждом произведении).

Точно так же третий многочлен получается, если перемножить переменные по три (так, чтобы в каждом произведении значки увеличились) и сложить получившиеся произведения. Таким образом,

.

Вообще k - й многочлен имеет вид

Наконец, последний многочлен равен произведению всех переменных:

=x₁x₂…x_n.

Ясно, что k - й многочлен является однородным и имеет степень k относительно переменных x₁, x₂,…, x_n.

Пример. Если n=4, то простейшие симметрические многочлены имеют вид

Число слагаемых в элементарном симметрическом многочлене степени k от n переменных равно числу сочетаний из n по k, то есть равно