Упрощение алгебраических выражений

Приемы разложения на множители, рассмотренные в предыдущем пункте, удобно применять также и при решении некоторых других алгебраических задач. Например, эти приемы с успехом применяются для доказательства тождеств, в левой и правой части которых стоят антисимметрические многочлены. Точно так же, если в числителе и знаменателе дроби стоят антисимметрические многочлены от трех переменных, то дробь заведомо может быть сокращена на T(x, y, z). Рассмотрим примеры.

1. упростить выражение

Приведем к общему знаменателю, получим:

.

Числитель является антисимметрическим многочленом третьей степени и потому пропорционален многочлену T(a, b, c)=(a-b)(a-c)(b-c), то есть

=

чтобы найти k положим a=0, b=1, c=2. Мы получим, что k=1, а потому

=

= =0.

Разложение симметрических многочленов от трех переменных на множители

В случае трех переменных симметрия многочлена значительно облегчает отыскание его разложения на множители. В это разложение могут входить симметрические и несимметрические множители. При этом, если в разложение входит несимметричный множитель h(x, y, z), то, в силу симметрии, разлагаемого многочлена, должны входить и все множители, получаемые из h(x, y, z) перестановкой переменных x, y, z.

Как мы уже знаем переменные x, y, z можно переставлять шестью различными способами. Поэтому, вообще говоря, вместе с несимметричным множителем h(x, y, z) должны входить еще пять множителей. Однако, если сам множитель h(x, y, z) имеет частичную симметрию, то число добавочных множителей уменьшается. Так, если множитель h(x, y, z) симметричен относительно x и y, то есть удовлетворяет условию

h(x, y, z)=h(y, x, z),

то при перестановках переменных x, y, z получается еще два отличающихся от него множителя h(y, z, x) и h(z, x, y,). (Они получаются с помощью циклических перестановок.) Если же многочлен h(x, y, z) четно-симметричен, то есть обладает тем свойством, что

h(x, y, z)=h(y, z, x)=h(z, x, y,),

то в разложении с ним связан лишь один множитель h(y, x, z).

Итак, в разложении на множители симметрического многочлена ƒ(x, y, z) могут входить следующие виды сомножителей:

1. симметричные множители h(x, y, z);

2. произведения вида h(x, y, z)·h(y, x, z),·где h(x, y, z) - многочлен, не меняющийся при четных перестановках;

. произведения вида h(x, y, z)·h(y, z, x)·h(z, x, y,), где h(x, y, z) - многочлен, симметричный относительно x и y;

. произведения вида h(x, y, z)·h(y, z, x)·h(z, x, y,)·h(y, x, z)·h(x, z, y)·h(z, y, x,)

где h(x, y, z) - многочлен, не обладающий симметрией.

Покажем теперь, как сделанные замечания позволяют разлагать симметрические многочлены на множители. Разложение на симметричные множители мы уже рассматривали. После того как многочлен разложен на симметричные множители, надо разлагать далее (пользуясь сделанными замечаниями) сами эти множители.

Рассмотрим пример.

1. Разложить на множители многочлен

.

Указанный многочлен имеет вид и потому на симметричные множители не разлагается. Следовательно, остается возможность разложить его на три множителя первой степени, причем эти множители должны быть симметричными относительно двух переменных. Иначе говоря, разложение надо искать в виде

= ( )

где k, l - искомые коэффициенты. Полагая в равенстве ( ) a=b=c=1, получаем , откуда . Далее, при a=b=0, c=1 получаем , то есть одно из чисел k, l равно нулю. Наконец, при a=1, b=1, c=0 находим , откуда видно, что k . Следовательно, l=0, k= . Мы получаем, таким образом, разложение

= .

Если теперь из каждой скобки вынести , то мы получим:

=