21 Геометрична інтерпритація складових ряду Фур'є. Полігармонічні процеси.

Тригонометрическим рядом Фурье функции   называют функциональный ряд вида

(1)

где

Числа  ,   и   ( ) называются коэффициентами Фурье функции  . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию   в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты  ,   и  . Если умножить правую часть (1) на  и проинтегрировать по промежутку  , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент  . Аналогично для 

Ряд (1) сходится к функции   в пространстве  . Иными словами, если обозначить через   частичные суммы ряда (1):

,

то их среднеквадратичное отклонение от функции   будет стремиться к нулю:

.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваемпространство   комплекснозначных функций со скалярным произведением

.

Мы также рассматриваем систему функций

.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция   может быть разложена по ним в ряд Фурье:

,

где ряд в правой части сходится к   по норме в  . Здесь

.

Коэффициенты :   связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

• Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения   и   не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

22Побудова лінійних математичних моделей різного виду за допомогою засобів пакету маткад

23 Спектральний аналіз процесів безкінечного періоду

24 Функціональні ряди. Застосування Застосування рядів при математичному моделюванні

Функциональный ряд

 — n-ная частичная сумма.

Сходимость

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность   его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность   его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости

Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для последовательности  . Чтобы последовательность функций  , определённых на множестве  , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого   существовал номер  , такой, что при всех   больше либо равных  , одновременно для всех   выполнялось неравенство 

Абсолютная и условная сходимость

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если   сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд   сходится, а   расходится, то ряд   называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости

Признак сравнения

Ряд   сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд   сходится равномерно.

2. 

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда  . Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость

Признак Дирихле

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций   монотонна   и 

2. Частичные суммы   ряда   равномерно ограничены.

Признак Абеля

Ряд   сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций   равномерно ограничена и монотонна  .

2. Ряд   равномерно сходится.