29. Дифференциальное уравнение теплопроводности. Условия однозначности для процессов теплопроводности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности: Решение задач теплопроводности связано с определением поля температур и тепловых потоков. Для установления зависимости между величинами, характеризующими явление теплопроводности, воспользуемся методом математической физики, который рассматривает протекание физических процессов в произвольно выделенном из всего рассматриваемого пространства элементарном объеме и в течение бесконечно малого промежутка времени. Это позволяет пренебречь изменением некоторых величин и существенно упростить выкладки. При выводе дифференциального уравнения теплопроводности считаем, что тело однородно и изотропно (то есть физические свойства тела не зависят от выбранного в нём направления), физические параметры λ, с(теплоемкость), и ρ (плотность) постоянны, внутренние источники теплоты равномерно распределены в теле. Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения, например, в тепловыделяющих элементах атомных реакторов, или при прохождении тока в электрических проводниках. Внутренние источники теплоты характеризуются величиной q_v — количеством теплоты, которое выделяется в единице объема в единицу времени. В основу вывода положен закон сохранения энергии, согласно которому вся теплота, выделенная внутренними источниками dQ_ВНУТР. и внесенная извне в элементарный объем путем теплопроводности Dq_ТЕПЛ... за время dτ, идет на изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме: dQ_ВНУТР. + dQ_ТЕПЛ. = dU.

В ыделим в теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 9.1). Количество теплоты, которое проходит путем теплопроводности внутрь выделенного объема в направлении оси ОX через элементарную площадку dy·dz за время dτ: dQ_x1 = q_x*dy*dz*d = -λ* *dy*dz*d . На противоположной грани параллелепипеда температура получит приращение *dx и будет составлять t + *dx . Количество тепла, отведенного через эту грань: dQ_x2 = -λ* (t + *dx) *dy*dz*d . Разница количества теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него, представляет собой теплоту, внесенную путем теплопроводности в направлении оси ОX: dQ_X = dQ_X1 – dQ_X2 = λ* dx*dy*dz*d . Аналогично: dQ_Y = dQ_Y1 – dQ_Y2 = λ* dx*dy*dz*d

Полное количество теплоты внесено в элементарный параллелепипед путем теплопроводности: dQ_m = dQ_X + dQ_Y + dQ_Z = λ* *dx*dy*dz*d

Здесь произведение dx·dy·dz представляет собой объем элементарного параллелепипеда dv. Количество теплоты, которое выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников: dQ_ВНУТ. = q_ν*dν*dτ. Приращение внутренней энергии можно выразить через массу параллелепипеда ρ·dv, теплоемкость с и приращение температуры : dU = c*ρ*dv* Подставляя выражения для dQ_m, dQ_ВНУТ. и dU в уравнение, после соответствующих сокращений получаем: с*ρ* = λ* + q_ν. Сумма вторых частных производных любой функции в математическом анализе носит название оператора Лапласа и обозначается следующим образом: = ²t. Величину λ/(ρ*c) называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой a. В указанных обозначениях уравнение примет вид: = a*²t + q_ν/(ρ*c). Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент температуропроводности a является физическим параметром вещества. Из уравнения следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a.

Краевые условии(Условия однозначности): Дифференциальное уравнение описывает в самом общем виде все без исключения задачи теплопроводности. Для решения конкретной задачи необходимо к дифференциальному уравнению присоединить математическое описание частных ее особенностей. Эти дополнительные данные, которые характеризуют конкретное единичное явление, называются краевыми условиями, или условиями однозначности. Существуют различные условия однозначности: геометрические — характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает про­цесс теплопроводности; физические — характеризующие физические свойства тела; временные — характеризующие распределение температуры тела в начальный момент времени; граничные — характеризующие взаимодействие тела с окружающей средой. Граничные условия в свою очередь бывают трех родов: 1) первого рода, задается распределение температуры на поверхности тела в функции времени; 2) второго рода, задается плотность теплового потока для всей поверхности тела в функции времени; 3) третьего рода, задаются температура окружающей среды t_Ж и закон теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой — закон Ньютона—Рихмана: d²Q_τ = α*(t_C – t_Ж)*dF*dτ, где t_С — температура поверхности тела; α — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²·К). Коэф­фициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемому или воспринимаемому единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус. Этот коэффициент учитывает все особенности явлении теплообмена, происходящие между поверхностью тела и окружающей средой. Плотность теплового потока, передаваемого от поверхности тела в окружающую среду, q = d²Q_τ/(dF*dτ) = α*(t_C – t_Ж). Согласно закону сохранения энергии, эта теплота равна теплоте, подводимой к поверхности изнутри тела путем теплопроводности: α*(t_C – t_Ж) = -λ*( )_C. Переписав последнее уравнение в виде: ( )_C= - (α/λ)* (t_C – t_Ж), получаем математическую формулировку граничных условий третьего рода. В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепловые потоки.